Trigonometri Sudut Kelipatan Pi Per 7

Dalam soal yang berkaitan dengan trigonometri, seringkali kita menemui soal dengan sudut  atau kelipatannya, yaitu , , …..Sudut ini jika dinyatakan pakai derajat juga masih dalam bentuk pecahan, yaitu  dan seterusnya.

 

Contoh soal 1 :

Jawab :

Agar lebih mudah, hasilnya kita misalkan x

Jika kedua ruas dikali dengan  maka

Dengan mengingat sin 2A = 2 sin A cos A maka

sin A cos A = ½ sin 2A

Mengingat

Maka persamaan sabaiknya diubah menjadi

Jadi

 

Contoh Soal 2 :

Jawab :

Misalkan

Jika dikuadratkan maka

Dengan menggunakan rumus sin2 A = ½ – ½ cos 2A maka

Jika kita kalikan akan diperoleh

Untuk memudahkan kita hitung dulu bentuk . Berdasarkan contoh soal 1 hasilnya adalah 1/8.

 

Jadi :

Jadi

 

Contoh Soal 3 :

Jawab :

Cara pertama :

Dari contoh soal 1 diperoleh

Dari contoh soal 2 diperoleh

Maka

 

 

Cara kedua

Kali ini akan kami berikan alternatif penyelesaian yang lain , yaitu menngunakan polinom

Jika kita memiliki persamaan tan 7x = 0 maka

tan 7x = tan 0

7x = 0 + n.

Dengan mensubtitusikan n = 0, 1, 2, 3, …dst maka diperoleh

 

 

Sementara persamaan tan 7x = 0 bisa diubah sebagai berikut :

Dengan mengalikan penyebut ke ruas kanan maka diperoleh

7 tan x – 35 tan3 x + 21tan5 x – tan7 x = 0

jika kedua ruas dikali –1 maka

tan7 x – 21 tan5 x + 35 tan3 x – 7 tan x = 0

Bentuk ini merupakan polinom derajat 7, sehingga memiliki 7 akar

7 akar tersebut adalah

Jika kita bagi dengan tan x maka akan diperoleh polinom

tan6 x – 21 tan4 x + 35 tan2 x – 7 = 0

dimana polinom terakhir ini memiliki 6 akar, yaitu

 

Catatan :

Jika ada polinom

ax6 + bx5 + cx4 + dx3 + ex2 + fx + g = 0

maka berlaku  x1.x2.x3.x4.x5.x6 = g/a

 

 

Maka dari polinom

tan6 x – 21 tan4 x + 35 tan2 x – 7 = 0

berlaku

Karena  semuanya di kuadran I, maka semua nilai tangen akan positif. jadi

 

Contoh Soal 4 :

Jawab :

Untuk memudahkan perhitungan, kita misalkan hasilnya P

Sekarang jika dikuadratkan akan menjadi

Jadi