Suku Banyak bagian 2

Sebelum mempelajari ini sebaiknya baca suku banyak bagian 1

 

Contoh Soal 8

Persamaan kubik yang akar-akarnya lima kali akar-akar persamaan x3 – 7x2 + 4x – 6 = 0 adalah …

Jawab :

Misalkan, akar-akar persamaan adalah p, q, dan r

p + q + r = -b/a = 7                   pq + pr + qr = c/a = 4                     pqr = -d/a = 6

x1 = 5p       x2 = 5q         x3 = 5r

x1  + x2 + x3  = 5p + 5q + 5r = 5(p + q + r) = 35

x1 x2 + x1 x3 +x2 x3  = 5p.5q + 5p.5r + 5q.5r = 25 (pq + pr + qr) = 100

x1 x2 x3 = 5p.5q.5r = 125 pqr = 125.6 = 750

Persamaan kubik yang akar-akarnya x1 , x2 , dan x3  adalah

x3  – (x1 +x1 +x1 )x2  + (x1 x2 + x1 x3 +x2 x3)x – x1x2x3 = 0

x3  – 35x2  + 100x – 750 = 0

 

Contoh Soal 9

Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya 3 lebihnya dari akar-akar persamaan x3  + 2x2  – 5x + 7 = 0

Jawab :

Jika akar-akarnya kita misalkan p, q dan r maka

p + q + r = -b/a = -2                   pq + pr + qr = c/a = -5                     pqr = -d/a = -7

x1 = p + 3       x2 = q  + 3        x3 = r + 3

x1  + x2 + x3  = p + q + r + 9 = -2 + 9 = 7

x1 x2 + x1 x3 +x2 x3  = (p + 3)(q + 3) + (p + 3)(r + 3) + (q + 3)(r + 3)

.                               = pq + 3p + 3q + 9 + pr + 3p +3r + 9 + qr + 3q + 3r + 9

.                                = pq + pr + qr + 6(p + q + r) + 27 = -5 – 12 + 27 = 10

x1 x2 x3  = (p + 3)(q + 3) (r + 3) = (p + 3)(qr + 3q + 3r + 9)

.                = pqr + 3pq + 3pr + 9p + 3qr + 9q + 9r + 27

.                = pqr + 3(pq + pr + qr) + 9(p + q + r) + 27 = -7 – 15 – 18 + 27 = -13

Persamaan kubik yang akar-akarnya x1 , x1 , dan x1  adalah

x3  – (x1 +x1 +x1 )x2  + (x1 x2 + x1 x3 +x2 x3)x – x1x2x3 = 0

x3 – 7x2 + 10x +13  = 0

 

Cara II :

Persamaan kita tulis menjadi

p3  + 2p2  – 5p + 7 = 0

x = p + 3 maka p = x – 3

jadi

(x – 3)3  + 2(x – 3)2  – 5(x – 3) + 7 = 0

x3 – 9x2 + 27x – 27 + 2x2  – 12x + 18 – 5x + 15 + 7 = 0

x3 – 7x2 + 10x +13  = 0

 

Contoh Soal 10 :

Persamaan 2x3  – 8x2  + 7x – 9 = 0 memiliki akar-akar m, n dan p. Tentukan persamaan kubik yang akar-akarnya m+n-p, m+p-n, dan n+p-m.

Jawab :

m+n+p = -b/a = 8/2 = 4          mn + mp + np =c/a = 7/2       mnp = -d/a = 9/2

x1 = m+ n – p =  m + n + p – 2p = 4 – 2p

x2 = m+p-n = m + n + p – 2n = 4 – 2n

x3 =  n+p-m = m + n + p – 2m = 4 – 2m

Untuk lebih memudahkan kita gunakan contoh 9 bagian cara II, persamaan kita tulis dalam p

2p3  – 8p2  + 7p – 9 = 0

x = 4 – 2p maka p = 2 – 0,5x

2(2 – 0,5x)3  – 8(2 – 0,5x)2  + 7(2 – 0,5x) – 9 = 0

2(8 – 6x + 1,5x2 – 0,125x3) – 8(4 – 2x + 0,25x2) + 14 – 3,5x – 9 = 0

16 – 12x + 3×2 – 0,25×3 – 32 + 16x – 2x2 + 14x – 3,5x – 9 = 0

Jika kedua ruas dikali 4 maka

64 – 48x + 12x2 – x3 – 128 + 64x – 8x2 + 56x – 14x – 36 = 0

-x3  + 4x2 + 58x – 100 = 0

x3 – 4x2  – 58x + 100 = 0

 

Contoh Soal 11

Tunjukkan bahwa persamaan x3  – 12x + 8 = 0 memiliki akar-akar x1 = 4cos 40o, x2 = 4cos 80o, dan x3 = 4cos 160o

Jawab :

Sebenarnya pada soal ini kita tidak harus memecahkan persamaan polinom untuk menentukan akar. Kita bisa langsung menggunakan teorema vieta.

x1  + x2  +x3  = -b/a = 0                x1 x2  + x1 x3  + x2 x3  = c/a = -12             x1 x2 x3  = -d/a = -8

Hasil ini harus kita buktikan dengan mensubtitusikan akar

x1  + x2  +x3  =4cos 40o  +  4cos 80o  + 4cos 160o  = 4(cos 160o+cos 40o +cos 80o)

.                           = 4(2cos 100o cos 60o + cos 80o) = 4(2cos 100o .0,5 + cos 80o) = 4(cos 100o  + cos 80o)

.                           = 4(cos ( 180o  – 80o)+ cos 80o) = 4(-cos 80o  + cos 80o) = 0

x1 x2  + x1 x3  + x2 x3  = 16cos 40o cos 80o  +16cos 40o cos 160o  +16cos 80o cos 160o

.                           = 8cos 120o + 8cos 40o + 8 cos 200o + 8 cos 120o + 8 cos 240o + 8 cos 80o

.                           = -4 + 8cos 40o + 8 cos 200o – 4  – 4  + 8 cos 80o  = -12 (cos 40o +  cos 80o   + 8 cos 120o)

karena cos 200o  = cos 160o  maka cos 40o +  cos 80o   + 8 cos 120o =0

Sehingga  x1 x2  + x1 x3  + x2 x3  = – 12

x1 x2x3  = 64cos 40o .cos 80o .cos 160

Jika kedua rus dikali dengan sin 40 maka

x1 x2x3 sin 40 = 64sin 40cos 40o .cos 80o .cos 160

x1 x2x3 sin 40 = 32sin 80.cos 80o .cos 160

x1 x2x3 sin 40 = 16sin 160cos 160

x1 x2x3 sin 40 = 8 sin 320

x1 x2x3 sin 40 =  8 sin (360o  – 40o )

x1 x2x3 sin 40 = -8 sin 40

x1 x2x3  = -8

Ternyata hasil perhitungan akarnya sama dengan hasil teorema vieta, sehingga terbukti bahwa persamaan x3  – 12x + 8 = 0 memiliki akar-akar x1 = 4cos 40o, x2 = 4cos 80o, dan x3 = 4cos 160o

 

Contoh Soal 12

Tentukan semua nilai z yang memenuhi persamaan 2z4 – 15z3  + 32z2  – 15z + 2 = 0

Jawab :

Jika persamaan dibagi dengan z2  maka diperoleh

misalkan  maka

2(y2 – 2) – 15y + 32 = 0

2y2 – 4 – 15y + 32 = 0

2y2 – 15y + 28 = 0

(y – 4)(2y – 7) = 0

y = 4 atau y = 7/2

Untuk y = 4 maka

z2 + 1 = 4z

z2 – 4z + 1 = 0

Dengan memakai rumus ABC maka

Untuk y = 7/2 maka

Jika kedua ruas dikali dengan 2z maka

2z2  + 2 = 7z

2z2 – 7z + 2 = 0

Jika kita gunakan rumua ABC maka

Jadi nilai z yang memenuhi adalah

 , ,  dan ,

.

 

Contoh Soal 13 :

Persamaan x4  – 22x3 + px2  + qx + r = 0 membentuk barisan aritmetika dengan beda 3. Tentukan nilai p, q, dan r

Jawab :

Misal x1 = m maka

x2 = m + 3              x3 = m + 6           x4 = m + 9

x1 + x2  + x3  + x4  = –b/a

m + m + 3 + m + 6 + m + 9 = 22

4m + 18 = 22

4m = 4

m = 1

Jadi

x1 = 1          x2  = 4            x3 = 7        x4  =10

Selanjutnya kita bisa menggunakan

Cara I

x1 x2  + x1 x3 + x1 x4 + x2 x3 + x2 x4 + x3x4 = c/a

1.4 + 1.7 + 1.10 + 4.7 + 4.10 + 7.10 = p

p = 4 + 7 + 10 + 28 + 40 + 70 = 159

 

x1 x2 x3 + x1 x2 x4 + x1 x3 x4 + x2 xx4 = –d/a

1.4.7 + 1.4.10 + 1.7.10 + 4.7.10 = -q

28 + 40 + 70 + 280 = –q

418 = –q

q = –418

 

x1 x2 x3 x4 = e/a

1.4.7.10 = r

r = 280

 

Cara I I

Persamaan kita tulis menjadi

(x – 1)(x – 4)(x – 7)(x – 10) = 0

(x2 – 5x + 4)(x2 – 17x + 70) = 0

x4  – 17x3 + 70x2  – 5x3  + 85x2  – 350x + 4x2  – 68x + 280 = 0

x4  – 22x3 + 159x2   – 418x   – 68x + 280 = 0

Jadi p = 159     q = -418     c = 280

 

Contoh Soal 14 :

Persamaan x4 – 5x3 – 7x2 + 4x + 3 = 0 memiliki akar-akar p, q, r dan s . Nilai dari p3 + q3 + r3 + s3 sama dengan  …

 Jawab :

p + q + r + s = –b/a = 5

pq + pr + ps + qr + qs + rs = c/a = –7

pqr + pqs + prs + qrs = –d/a = –4

1/p + 1/q + 1/r + 1/s = (qrs + prs + pqs + pqr)/(pqrs) =–4/3

 

p2 + q2 + r2 + s2 = (p + q + r + s)2 – 2(pq + pr + ps + qr + qs + rs ) = 52 – 2(–7) = 25 + 14 = 39

 

x4 – 5x3 – 7x2 + 4x + 3 = 0

x4 = 5x3 + 7x2 –  4x – 3

x3 = 5x2 + 7x – 4 – 3/x

 

p3 = 5p2 + 7p – 4 – 3/p

q3 = 5q2 + 7q – 4 – 3/q

r3 = 5r2 + 7r – 4 – 3/r

s3 = 5s2 + 7s – 4 – 3/s      +

p3 + q3 + r3 + s3 = 5(p2 + q2 + r2 + s2) + 7(p + q + r + s) – 16 – 3(1/p + 1/q + 1/r + 1/s)

p3 + q3 + r3 + s3 = 5(39) + 7(5) – 16 – 3(–4/3)

p3 + q3 + r3 + s3 = 195 + 35 – 16 + 4 = 218

 

Contoh soal 15 :

Agar persamaan x3 – (p+1)x2 + (p + 9)x – 9 = 0 memiliki 3 akar real maka nilai n  adalah …

Jawab :

Karena jumlah koefisien sama dengan nol  maka salah satu akar persamaan x3 – (p + 1)x2 + (p + 9)x – 9 = 0 adalah 1. Dengan demikian suku banyak ini bisa dibagi dengan x – 1

suku banyak cara horner

 

Jadi

(x – 1)(x2 – px + 9) = 0

Jelas sekali persamaan memiliki akar real x = 1. Agar memiliki 3 akar real maka persamaan x2 – px + 9 = 0 harus memiliki 2 akar real.

Sehingga

D ≥ 0

b2 – 4ac ≥ 0

(–p)2 – 4.1.9 ≥ 0

p2 – 36 ≥ 0

(p + 6)(p – 6) ≥ 0

garis bilangan pertidaksamaan

p ≤– 6 atau p ≥ 6

 

Contoh soal 16 :

Suku banyak x3 + 8x2 + 7x + 3 = 0 memiliki akar-akar tan A, tan B dan tan C. Nilai dari tan (A + B + C) = …

 Jawab :

x1 + x2 + x3 = – b/a = –8   maka tan A + tan B + tan C = –8

x1x2 + x1x3 + x2x3 = c/a = 7 maka tan A.tan B + tan A.tan C + tan B.tan C = 7

x1x2x3 = –d/a = –3  maka tan A.tan B.tan C = –3

tan A B C

 

Contoh Soal 17 :

Agar persamaan x3 – 5x2 + (m + 2)x + n – 11 = 0 dan 3x3 – (3m + 3)x2 + (2n + 4)x  –(p + 8) = 0  memiliki 3 akar persekutuan maka nilai p sama dengan …

 

Jawab :

Karena persamaan kubik tepat memiliki 3 akar maka jika dua persamaan kubik memiliki 3 akar persekutuan berarti keduanya adalah persamaan yang sama. Agar koefisien x3 sama maka persamaan pertama dikali 3 sehingga :

3x3 – 15x2 + (3m + 6)x + 3n – 33 = 0

3x3 – (3m + 3)x2 + (2n + 4)x  –(p + 8) = 0

Maka bisa disimpulkan

3m + 3 = 15 sehingga m = 4

2n + 4 = 3m + 6

2n + 4 = 18 maka n = 7

3n – 33 =  – (p + 8)

21 – 33 = – p – 8

p = 4