Suku Banyak

S

 

Bentuk umum

anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+a2x2 + a1x + ao

dengan an ≠0 dan n disebut derajat suku banyak

 

1. Pembagian Suku Banyak

 

 2. Teorema Sisa

Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak g(x) dan diperoleh hasil bagi h(x) maka berlaku

f(x) = g(x).h(x) + sisa

  • Sisa akan berupa suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n – 1
  • Jika g(x) berupa fungsi linear maka sisa berupa konstanta

f(x) = (x – a) g(x) + sisa

akibatnya

  • f(x) : (x – a) maka sisa = f(a)
  • f(x) : (x + a) maka sisa = f(-a)
  • f(x) : (ax + b) maka sisa f(-b/a)

 

3.  Teorema Faktor

Jika suku banyak f(x) habis dibagi x – a maka f(a) = 0

 

Pembagian Istimewa

Untuk setiap n berlaku

an – bn = (a – b)(a n – 1 + an – 2b + an – 3b2 + ….+ a2 bn – 3 + abn – 2 + bn – 1)

Untuk n bilangan ganjil berlaku

an + bn = (a + b)(a n – 1 – an – 2b + an – 3b2 – ….+ a2 bn – 3 – abn – 2 + bn – 1)

 

4. Teorema Vieta

  1. Jika x1 dan x2 akar-akar persamaan ax2 + bx + c = 0 maka

.             x1 + x2 = -b/a      x1.x2 = c/a

  1. Jika x1, x2 dan x3 akar-akar persamaan ax3 + bx2 + cx + d = 0 maka

.             x1 + x2 + x3 = -b/a      x1.x2 + x1.x3 + x2x3 = c/a    x1x2x3 = -d/a

  1. Jika x1, x2 x3 dan x4 akar-akar persamaan ax4 + bx3 + cx2 + dx + e = 0 maka

.             x1 + x2 + x3 + x4 = -b/a      x1.x2 + x1.x3 + x1x4 + x2.x3 + x2x4  + x3x4  = c/a

.             x1x2x3 + x1x2x4 + x1x3x4 + x2x3x4 = -d/a      x1x2x3x4  = e/a

 

5. Untuk setiap m bilangan asli dan terdapat suku banyak f(x)

.           Jika   f(x) = (x – k)m g(x) dengan g(k) ≠ 0 maka

.           f(k) = f’(k) = f’’(k) = …=f(m-1) (k) = 0  dan  f(m) (k) ≠ 0

 

6. Suku banyak  xn – 1

Persamaan  xn – 1= 0 memiliki akar-akar 1, w, w2, w3 , ….wn – 1

Dengan w = cos (2π/n) + i sin (2π/n)

xn – 1 = (x – 1)(x – w)(x – w2)(x – w3) …(x – wn – 1)

Berdasarkan pembagian istimewa maka

xn – 1 = (x – 1)(xn– 1 + xn – 2 + xn – 3 + …+ x2 + x + 1)

 

Jadi

  • Persamaan xn– 1 + xn – 2 + xn – 3 + …+ x2 + x + 1 = 0 memiliki akar-akar w, w2, w3 , ….wn – 1
  • Persamaan xn + xn – 1 + xn – 2 + …+ x2 + x + 1 = 0 memiliki akar-akar w, w2, w3 , ….wn

 

Contoh Soal 1 :

Persamaan x3  – 8x2  + 3x + 7 = 0 memiliki akar-akar p, q, dan r. Tentukan nilai dari p2  + q2  + r2

Jawab :

p + q + r = -b/a = 8                    pq + pr + qr = c/a = 3                        pqr = -d/a = -7

p2  + q2  + r2 =(p+q+r)2 – 2(pq + pr + qr) =82  – 2.3 = 58

 

Contoh Soal 2 :

Persamaan x3  – 6x2  + 5x – 8 = 0 memiliki akar-akar p, q, dan r. Tentukan nilai dari p3  + q3  + r3

 

Jawab :

p + q + r = -b/a = 6                    pq + pr + qr = c/a = 5                        pqr = -d/a = 8

p2  + q2  + r2 =(p+q+r)2 – 2(pq + pr + qr) = 62  – 2.5 = 26

Persamaan polinom bisa kita ubah menjadi

x3  = 6x2  – 5x + 8

Akar berarti adalah nilai x yang memenuhi, jadi nilai x bisa kita ganti dengan p, q dan r

p3  = 6p2  – 5p + 8
q3  = 6q2  – 5q + 8
r3  = 6r2  – 5r + 8                                      +

p3  + q3  + r3 = 6(p2  + q2  + r2) – 5(p+q+r) + 24 = 6(26) – 5(6) + 24 = 156 – 12 + 24 = 168

 

Contoh soal 3 :

Tentukan sisanya jika suku banyak x6o – 20x7 + 12 dibagi oleh x2 – 1

Jawab :

Karena pembagi adalah fungsi kuadrat maka sisa bisa dimisalkan fungsi linear (anggap sisanya ax + b)

x6o – 20x7 + 12 = (x2 – 1) h(x) + ax + b

x = 1 ===>      -7 = a + b
x = -1 ===>    33 = -a + b        _

.                           -40 = 2a maka a = -20  dan b = 13

Jadi sisanya -20x + 13

 

Contoh soal 4 :

Tentukan sisanya jika suku banyak x6o – 20x7 + 12 dibagi oleh x2 – 2x + 1

Jawab :

Misalkan sisa = ax + b

x6o – 20x7 + 12 = (x2 – 2x + 1) h(x) + ax + b

x = 1   ==>      -7 = a + b  ………………………………………….(1)

Jika diturunkan maka

60x59 – 140x6 = (2x – 2)h(x) + (x2 – 2x + 1) h'(x) + a

x = 1 ===>  – 80 = a

-7 = a + b ===> b = 73

jadi, sisanya = -80x + 73

 

Contoh soal 5 :

Jika (x2 + 3x + 5)20 = a40x40 + a39x39 + a38x38 + …+ a2x2 + a1x + a0

Tentukan nilai dari  a40 + a39 + a38 + …..+ a2 + a1 + a0

Jawab :

Subtitusi nilai x = 1 ke persamaan sehingga

(1 + 3 + 5)20 =  a40 + a39 + a38 + …..+ a2 + a1 + a0

Jadi,

a40 + a39 + a38 + …..+ a2 + a1 + a0 =920

 

Contoh soal 6 :

Jika (2x2 + 4x + 3)50 = a100x100 + a99x99 + a98x98 + …+ a2x2 + a1x + a0

Tentukan nilai dari  a100 + a98 + a96 + …..+ a4 + a2 + a0

 Jawab :

Subtitusi x = 1 dan -1 sehingga

x = 1    ===> 950 =  a100 + a99 + a98 + a97 + …..+ a4 + a3 + a2 + a1 + a0

x = -1  ===>  1      =  a100 – a99  + a98 – a97  +….. + a4 – a3  + a2 – a1 + a0

Jika kedua persamaan dijumlahkan maka

2a100 + 2a98 + 2a96 + …..+ 2a4 + 2a2 + 2a0 = 950 + 1

 

Contoh soal 7 :

Jika (4x2 + x – 4)99 = a198x198 + a197x197 + a196x196 + …+ a2x2 + a1x + a0

Tentukan nilai dari  a197 + a195 + a193 + …..+ a5 + a3 + a1

 

Jawab :

Subtitusi x = 1 dan -1 sehingga

x = 1    ===> 1 =  a198 + a197 + a196 + a195 + …..+ a4 + a3 + a2 + a1 + a0

x = -1  ===> -1=  a198 – a197 + a196  – a195 + ….. + a4 – a3 +  a2  – a1  + a0

Jika kedua persamaan dikurangkan maka

2a197 + 2a195 + 2a193 + …..+ 2a5 + 2a3 + 2a1  = 2

Jadi

a197 + a195 + a193 + …..+ a5 + a3 + a1 = 1

 

Tunggu edisi berikutnya, untuk menampilkan soal-soal yang lebih menarik dan menantang