Rumus De Moivre

Setiap bilangan kompleks    z = a + bi    dengan     bisa dinyatakan menjadi  z = r(cos t + i sin t) dengan  dan 

Rumus de moivre menyatakan

Jika z = r(cos t + i sin t) maka zn = rn(cos nt + i sin nt)

Untuk membuktikan rumus ini kita misalkan dulu

z1 = r1 (cos t1 + i sin t1)

z2 = r2 (cos t2 + i sin t2)

z3 = r3 (cos t3 + i sin t3)

…………………………………

zn = rn (cos tn + i sin tn)

Maka

z1 .z2 = r1 . r2 (cos t1 + i sin t1)(cos t2 + i sin t2)

z1 .z2 = r1 . r2 (cos t1 . cos t2 + cos t1  .  i sin t+ i sin t.cos t2 +i2 sin t1 . sin t2)

z1 .z2 = r1 . r2 (cos t1 . cos t2 + i( cos t1  sin t+  sin t.cos t2 ) –  sin t1 . sin t2)

z1 .z2 = r1 . r2 (cos t1 . cos t2 –  sin t1 . sin t+ i( cos t1  sin t+  sin t.cos t2 ))

z1 .z2 = r1 . r2 (cos (t1 +  t2 ) + i sin (t.+ t2 ))

Dengan hasil ini mudah sekali diperlihatkan bahwa

z1 .z2 .z3 = r1 . r2 . r(cos (t1 +  t2 + t3 ) + i sin (t.+ t2 + t3 ))

dan seterusnya sehingga

z1 .z2 .z3 …..zn = r1 . r2 . r3 ….. r  (cos (t1 +  t2 + t3 + …+tn ) + i sin (t.+ t2 + t3 + …+tn ))  …………..(1)

Jika z1 = z2 = z3 = ….=zn = z =  r (cos t + i sin t) maka persamaan (1) menjadi

zn = rn (cos nt + i sin nt)

Jadi kesimpulannya

Jika z =  r (cos t + i sin t) maka zn = rn (cos nt + i sin nt)

Jika z =  r (cos t – i sin t) maka zn = rn (cos nt – i sin nt)

 

Contoh soal 1 :

Jika  tentukan nilai dari

a.z4

b. z30

Jawab :

 a. Kita bisa menggunakan cara biasa dulu

Untuk mendapatkan z4  maka bentuk ini kita kuadratkan lagi

 

cara kedua kita gunakan rumus de moivre.

    dan  maka t = 60o

sehingga

maka

 

b. Untuk z30 tentunya tidak memakai cara biasa. Kita harus memakai rumus de moivre

karena cos 18000 = cos 00 = 1

dan sin 180000 = sin 00 = 0

maka

 

Contoh soal 2 :

Jika p dan q akar-akar persamaan x2  – x + 1 = 0 maka tentukan p2015 + q2015

Jawab :

Dengan memakai Rumus ABC maka

Sehingga

dan

Akibatnya

 

Karena 2010 x 60o = 335 x 360o  maka bentuk ini identik dengan 0o, sehingga

Dengan cara yang sama

 

Contoh Soal 3 :

Tentukan semua penyelesaian dari z3 = 64

Jawab :

z3 = 64 = 64 + 0i

sehingga

maka t = 0o atau 360o atau 720o

Jadi

z3  = r (cos t + i sin t)

z3  = 64 (cos 0o + i sin 0o) ==> z = 4 (cos 0o + i sin 0o)

z3  = 64 (cos 360o + i sin 360o) ==> z = 4 (cos 120o + i sin 120o)

z3  = 64 (cos 720o + i sin 720o) ==> z = 4 (cos 240o + i sin 240o)

 

Cara II : Kita gunakan aljabar biasa

(a3 – b3) = (a – b)(a2 + ab + b2)

Persamaan di atas bisa kita ubah menjadi

z3  – 64 = 0

(z – 4)(z2 + 4z + 16) = 0

z1 = 4

Selanjutnya kita peroleh persamaan kuadrat sbb :

z2 + 4z + 16 = 0

Dengan memakai rumus ABC maka