Rumus Brahmagupta

Rumus Brahmagupta dipakai untuk menentukan luas segiempat tali busur. Rumus ini merupakan perluasan dari rumus Heron yang dipakai mencari luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Jika segi empat tali busur memiliki panjang sisi a, b, c, dan d maka berlaku

dan luas segiempat adalah

Untuk membuktikan rumus ini, pertama-tama kita lihat gambar berikut

Segiempat tali busur

 

Q + S = 180o

S= 180– Q

cos S = cos(180– Q) = – cos Q

sin S = sin (180– Q) = sin Q

 

PR2 = a2 + b2 – 2ab cos Q

PR2 = c2 + d2 – 2cd cos S

PR2 = c2 + d2 + 2cd cos Q

Jadi

a2 + b2 – 2ab cos Q = c2 + d2 + 2cd cos Q

a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2ab cos Q + 2cd cos Q

a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2(ab + cd) cos Q

LPQR = ½ ab sin Q         LPSR = ½ cd sin S = ½ cd sin Q

Luas segiempat tali busur adalah

L = LPQR + LPSR = ½ ab sin Q + ½ cd sin Q = ½ (ab + cd) sin Q

Dengan mengganti a + b + c + d = 2s maka