OSP Matematika SMA 2017

SELEKSI TINGKAT PROPINSI

CALON PESERERTA OLIMPIADE SAINS NASIONAL 2017

MATEMATIKA SMA/MA
BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT

1. Dua bilangan real tidak nol a dan b memenuhi ab = a – b. Nilai  yang mungkin adalah …

 

2. Tokoh masyarakat di suatu RW, selain Pak RW dan Bu RW, terdapat 5 orang wanita dan 6 orang pria. Kelurahan meminta 6 orang untuk mengikuti seminar di tingkat kota. Dipilih 6 orang sebagai delegasi RW , dengan komposisi 3 orang wanita dan 3 orang pria, yang salah satu di antaranya Pak RW. Banyaknya cara memilih delegasi tersebut adalah …

 

3. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 13, AC = 15, dan panjang garis tinggi ke BC adalah 12. Jumlah semua panjang BC yang mungkin adalah …

 

4. Bilangan prima 2 digit   yang memenuhi  juga prima ada sebanyak …

 

5. Misalkan f fungsi real yang memenuhi   . Jumlah semua nilai z yang memenuhi f(3z) = 12 adalah …

 

6. Ita memiliki 5 bilangan di antara {1, 2, 3, 4, 5, 6, 7} dan mengatakan kepada Budi hasil kali dari kelima bilangan tersebut . Kemudian Ita bertanya apakah Budi mengetahui hasil penjumlahan kelima bilangan tersebut merupakan ganjil atau genap. Budi menjawab bahwa dia tidak bisa memastikannya. Nilai hasil kali kelima bilangan yang dimiliki ita adalah …

 

7. Misalkan ABCD sebuah persegi dengan panjang sisi 2017. Titik E terletak pada segmen CD sehingga CEFG merupakan persegi dengan panjang sisi 1702 dengan F dan G terletak di luar ABCD. Jika lingkaran luar segitiga ACF memotong BC lagi di titik H, maka panjang CH adalah …

 

8. Banyaknya pasangan bilangan asli (x, y) yang memenuhi persamaan 

 

9. Misalkan x dan y adalah bilangan-bilangan real yang memenuhi persamaan

x2y2 + 4x2+y2 + 1 = 6xy

Jika M dan m berturut-turut menyatakan nilai terbesar dan nilai terkecil yang mungkin dari x – y, maka nilai M – m adalah ….

 

10. Diberikan 2017 lampu yang dilengkapi saklar untuk menyalakan dan mematikan lampu. Mula-mula semua lampu dalam keadaan padam. Pada setiap menit Ani harus menekan tepat 5 saklar. Setiap saklar ditekan lampu yang tadinya padam menjadi menyala dan yang tadinya menyala menjadi padam. Untuk menyalakan semua lampu Ani paling sedikit membutuhkan … menit.

 

11. Diberikan bilangan real positif k. Pada suatu segitiga ABC titik-titik D, E, dan F berturut-turut terletak pada sisi BC, CA, dan AB sehingga

Jika [ABC] dan [DEF] berturut-turut menyatakan luas segitiga ABC dan DEF maka 

 

12. Untuk sebarang bilangan asli k, misalkan Ik = 10…..064 dengan 0 di antara 1 dan 6 sebanyak k. Jika N(k) menyatakan banyaknya faktor 2 pada faktorisasi prima dari Ik, maka nilai maksimum untuk N(k) adalah …

 

13. Jika x, y, dan z bilangan real positif yang memenuhi

,

Maka nilai xyz adalah …

 

14. Sepuluh siswa mempunyai tinggi badan yang berbeda. Guru olahraga menginginkan mereka berbaris menyamping, dengan syarat tidak ada siswa yang diapit oleh dua siswa lain yang lebih tinggi darinya. Banyaknya cara membuat barisan seperti itu adalah …

 

15. Diberikan segitiga ABC dengan t sebagai lingkaran luarnya. Tali busur AD adalah garis bagi dalam sudut BAC yang memotong BC di titik L. Tali busur DK tegak lurus pada AC dan memotong AC di titik M. Jika , maka nilai dari  adalah …

 

16. Bilangan asli empat-digit b habis dibagi oleh 7. Bilangan asli k yang diperoleh dengan menuliskan digit-digit n dari belakang ke depan , juga habis dibagi oleh 7. Selain itu, diketahui bahwa n dan k mempunyai sisa yang sama apabila dibagi oleh 37. Jika k > n , maka jumlah dari semua n yang memenuhi adalah …

 

17.