OSP Matematika SMA 2016

BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT

1. Misalkan a, b, c tiga bilangan asli yang memenuhi 2a + 2b + 2c = 100. Nilai dari a + b + c adalah ….

2. Suatu fungsi f mempunyai sifat f(65x + 1) = x² – x + 1 untuk semua bilangan real x. Nilai f(2016) adalah ….

3. Tiga bilangan berbeda a, b, c akan dipilih satu persatu secara acak dari 1, 2, 3, 4, …, 10 dengan memperhatikan urutan. Probabilitas bahwa ab + c genap adalah ….

4. Titik P adalah suatu titik pada segiempat konveks ABCD dengan PA = 2, PB = 3, PC = 5, dan PD = 6. Luas maksimum segiempat ABCD adalah …

5. Jika 0 < x < π/2 dan 4 tan x + 9 cot x ≤ 12, maka nilai sin x yang mungkin adalah ….

6. Untuk setiap bilangan asli n, misalkan S(n) menyatakan hasil jumlah digit-digit n dalam penulisan desimal. Sebagai contoh, S(2016) = 2 + 0 + 1 + 6 = 9. Hasil jumlah semua bilangan asli n sehingga n + S(n) = 2016 adalah ….

7. Diantara 30 siswa, 15 siswa senang atletik, 17 siswa senang basket dan 17 siswa senang catur. Siswa yang senang atletik dan basket sama banyak dengan siswa yang senang basket dan catur. Sebanyak 8 siswa senang atletik dan catur. Siswa yang senang basket dan catur sebanyak dua kali siswa yang senang ketiganya. Sedangkan 4 siswa tidak senang satupun dari ketiganya. Dari 30 siswa tersebut dipilih tiga siswa secara acak. Probabilitas masing-masing siswa yang terpilih hanya senang catur saja atau basket saja adalah ….

8. Diberikan kubus ABCD.EFGH dengan panjang rusuk 5. Titik I dan J sebarang pada BF dengan IJ = 1. Titik K dan L sebarang pada CG dengan KL = 2. Semut bergerak dari A ke H dengan lintasan AIJKLH. Panjang lintasan terpendek adalah ….

9. Banyaknya tripel bilangan prima (p, q, r) yang memenuhi 15p + 7pq + qr = pqr adalah …

10. Jika x2 + xy + 8x = – 9 dan 4y2 + 3xy + 16y = – 7, maka nilai x + 2y yang mungkin adalah …

11. Panjang rusuk-rusuk suatu limas segitiga semuanya adalah bilangan bulat. Lima rusuknya masing-masing memiliki panjang 14, 20, 40, 52, dan 70. Banyaknya kemungkinan panjang rusuk yang keenam adalah …

12. Seorang pemain catur setiap hari bertanding minimum satu kali selama tujuh hari dengan total m pertandingan. Nilai m  maksimum agar ada dua atau lebih hari berturutan dengan total pertandingannya empat kali adalah …

13. Rumah pak Adi memiliki meteran air yang rusak, di mana meteran tersebut tidak dapat menunjukkan 3 dan 9. Sebagai contoh , angka yang tertunjuk pada meteran setelah angka 22 adalah 24 dan juga angka yang tertunjuk setelah 28 adalah 40. Misalkan dalam satu bulan, meteran air Pak Adi menunjukkan angka 478 m3.  Kerugian yang sebenarnya ditanggung oleh Pak Adi karena meteran rusak tersebut adalah …m3.

14. Untuk sebarang bilangan real x, notasi  menyatakan bilangan bulat terbesar yang tidak lebih besar dari x. Hasil jumlah semua bilangan real x yang memenuhi

|8x – 1008| +   = 2016

adalah …

15. Misalkan a1, a2, …a120 adalah 120 permutasi dari kata MEDAN yang diurutkan berdasarkan abjad seperti kamus, misalnya a1 = ADEMN, a2 = ADENM, a3 = ADMEN, dan seterusnya. Hasil jumlah semua indeks k sehingga huruf A merupakan huruf ketiga pada permutasi ak adalah …

16. Misalkan ABCDE adalah suatu segilima beraturan dengan luas 2. Titik-titik P, Q, R, S, T adalah perpotongan antar diagonal-diagonal dari segilima ABCDE sedemikian hingga PQRST adalah suatu segilima beraturan. Jika luas PQRST ditulis dalam bentuk  dengan a dan b bilangan asli, maka nilai a + b adalah …

17. Segitiga ABC mempunyai lingkaran luar berjari-jari 1. Jika dua garis berat segitiga ABC masing-masing mempunyai panjang 1, maka keliling segitiga ABC adalah …

18. Barisan xo, x1, x2, …,xn didefinisikan dengan xo = 10, x1 = 5, dan

Untuk k = 1, 2, 3, …., n – 1 dan diperoleh xn = 0. Nilai n adalah …

19. Dalam suatu turnamen sepak bola yang diikuti oleh n tim, tiap tim bermain melawan tim lainnya tepat satu kali. Dalam satu pertandingan 3 poin akan diberikan kepada tim yang menang dan 0 poin untuk tim yang kalah. Sedangkan 1 poin diberikan kepada masing-masing tim apabila pertandingan berakhir seri. Setelah pertandingan berakhir, hanya satu tim yang memperoleh poin paling banyak dan hanya tim itu yang memperoleh jumlah kemenangan paling sedikit. Nilai n terkecil sehingga hal ini terjadi …

20. Barisan bilangan non-negatif a1, a2, a3, …didefinisikan dengan a1 = 1001 dan an+2 = |an + 1 – an| untuk n ≥ 1. Jika diketahui bahwa a2 < 1001 dan a2016 = 1, maka banyaknya nilai a2 yang mungkin adalah …

 

BAGIAN KEDUA : ESSAY

21. Misalkan a dan b bilangan real positif berbeda, sehingga   dan   merupakan suatu bilangan rasional. Buktikan bahwa a dan b merupakan bilangan rasional

22. Tentukan banyaknya pasangan terurut bilangan asli (a, b, c, d) yang memenuhi
ab + bc + cd + da = 2016
Catatan : Jawaban dalam bentuk paling sederhana

23. Untuk bilangan asli k, kita katakan persegi panjang berukuran 1 x k atau k x 1 sebagai pita. Suatu persegi panjang berukuran 2016x n dipotong menjadi pita-pita yang semua ukurannya berbeda. Tentukan bilangan asli n ≤ 2016 terbesar sehingga kita bisa melakukan hal tersebut.
Catatan : Pita 1 x k dan k x 1 dianggap berukuran sama.

 

24. Misalkan PA dan PB adalah garis singgung lingkaran w dari suatu titik P di luar lingkaran. Misalkan M adalah sebarang titik pada AP dan N adalah titik tengah AB. Perpanjangan MN memotong w di C dengan N di antara M dan C. Misalkan PC memotong w di D dan perpanjangan ND memotong PB di Q. Tunjukkan MQ sejajar AB.

25. Diberikan tripel bilangan asli berbeda (xo, yo, zo) yang memenuhi xo + yo + zo = 2016. Setiap jam ke-i, dengan i³ 1, dibentuk tripel baru
(xi, yi, zi) = (yi – 1 + zi – 1 – xi – 1 , zi – 1 + xi – 1 – yi – 1 , xi – 1 + yi – 1 – zi – 1)
Tentukan bilangan asli n terkecil sehingga pada jam ke-n pasti ditemukan minimal satu di antara xn, yn, atau zn merupakan bilangan negatif.