OSK Matematika SMA 2017

Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA

Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten

Tahun 2017

Waktu: 120 menit

 

Petunjuk: Untuk masing-masing soal, tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di lembar jawab

yang disediakan.

1. Diketahui x – y = 10 dan xy = 10. Nilai x4 + y4 adalah …

 

2. Empat siswa Adi, Budi, Cokro dan Dion bertanding balap sepeda. Kita hanya diberikan informasi sebagai berikut

  • Setiap siswa sampai di garis finish pada waktu yang berlainan
  • Adi bukan juara pertama
  • Cokro kalah dari Budi

Dengan hanya mengetahui informasi ini saja, banyaknya susunan juara pertama, kedua, ketiga, dan keempat adalah …

 

3. Banyaknya bilangan asli k yang memenuhi k | (n7 – n) untuk semua bilangan asli n adalah …

 

4. Pada sebuah lingkaran dengan pusat O, tali busur AB berjarak 5 dari titik O dan tali busur AC berjarak

 dari titik O. Jika panjang jari-jari lingkaran 10, maka BC2 adalah …

 

5. Jika  maka nilai dari 

 

6. Pada suatu kotak ada sekumpulan bola berwarna merah dan hitam yang secara keseluruhannya kurang dari 1000 bola. Misalkan diambil 2 bola. Peluang terambilnya dua bola merah adalah p dan peluang terambilnya dua bola hitam adalah q, dengan  . Selisih terbesar yang mungkin dari banyaknya bola merah dan hitam adalah …

 

7. Misalkan s(n) menyatakan faktor prima terbesar dari n dan t(n) menyatakan faktor prima terkecil dari n. Banyaknya bilangan asli n Î {1, 2, 3, 4, …., 100} sehingga t(n) + 1 = s(n) adalah …

 

8. Semua titik sudut suatu persegi dengan panjang sisi s terletak pada batas dari juring lingkaran berjari-jari r yang sudut pusatnya 60o. Jika persegi diletakkany secara simetris di dalam juring , maka nilai  adalah …

OSK 2017

9. Misalkan a, b, c bilangan real positif yang memenuhi a + b + c = 1. Nilai minimum dari  adalah …

 

10. Sebuah hotel mempunyai kamar bernomor 000 sampai dengan 999.Hotel tersebut menerapkan aturan aneh sebagai berikut : jika suatu kamar berisi tamu, dan sembarang 2 digit nomor kamar tersebut dipertukarkan tempatnya, maka diperoleh nomor kamar yang sama atau nomor kamar yang tidak berisi tamu. Maksimal banyaknya kamar yang berisi tamu adalah …

 

11. Fungsi F memetakan himpunan bilangan asli ke himpunan bilangan bulat tak negatif. Fungsi tersebut memenuhi f(1) = 0 dan untuk setiap bilangan asli berbeda m, n dengan m|n, berlaku f(m) < f(n). Jika diketahui f(8!) = 11, maka nilai dari f(2016) adalah …

 

12. Diberikan segitiga ABC dengan AC = ½ (AB + BC). Misalkan K dan M berturut-turut titik tengah AB dan BC. Titik L terletak pada sisi AC sehingga BL adalah garis bagi sudut ABC. Jika ÐABC = 72o , maka besarnya sudut KLM sama dengan …

 

13. Misalkan P(x) suatu polinom derajat 4 yang memiliki nilai maksimum 2018 di x = 0 dan x = 2. Jika P(1) = 2017 ,maka nilai P(3) adalah …

 

14. Terdapat 6 anak, A, B, C, D, E, dan F akan saling bertukar kado. Tidak ada yang menerima kadonya sendiri, dan kado dari A diberikan kepada B. Banyaknya cara membagikan kado dengan cara demikian adalah …

 

15. Bilangan asli terbesar n sehingga n! dapat dinyatakan sebagai hasil perkalian dari n – 4 bilangan asli berurutan adalah …

 

16. Pada segitiga ABC titik K dan L berturut-turut adalah titik tengah AB dan AC. Jika CK dan BL saling tegak lurus , maka nilai minimum dari cot B +  cot C adalah …

 

17. Misalkan a, b, c, dan d bilangan-bilangan bulat positif. Jajaran genjang yang dibatasi oleh garis-garis y = ax + c, y = ax + d, y = bx + c, dan y = bx + d mempunyai luas 18. Jajaran genjang yang dibatasi oleh garis-garis y = ax + c, y = ax – d, y = bx + c, dan y = bx – d mempunyai luas 72. Nilai terkecil yang mungkin untuk a + b + c + d adalah ….

 

18. Seratus bilangan bulat disusun mengelilingi lingkaran sedemikian sehingga (menurut arah jarum jam) setiap bilangan lebih besar daripada hasil penjumlahan dua bilangan sebelumnya. Maksimal banyaknya bilangan bulat positif yang terdapat pada lingkaran tersebut adalah ….

 

19. Untuk sebarang bilangan asli n, misalkan S(n) adalah jumlah digit-digit dari n dalam penulisan desimal. Jika S(n) = 5, maka nilai maksimum dari S(n5) adalah …

 

20. Diberikan segitiga ABC dengan AB = 12, BC = 5, dan AC = 13. Misalkan P suatu titik pada garis bagi ÐA yang terletak dalam segitiga ABC dan misalkan M suatu titik pada sisi AB (dengan A ¹ M ¹ B). Garis AP dan MP memotong BC dan AC berturut-turut di D dan N. Jika ∠MPB = ∠PCN dan ∠NPC = ∠MBP, maka nilai  adalah …