Komatunpar 2015 Perempat Final

K

PILIHAN GANDA

1.Diketahui sebuah deret fibonacci

0,1,1,2,3,5,8,13,21,34,55,89,144,…

Banyaknya bilangan kelipatan 4 pada 2015 angka deret tersebut adalah …

(a)330     (b) 332     (c) 335     (d) 342   (e) a, b, c, dan d salahPILIHAN GANDA

2. Diketahui fungsi f memenuhi relasi

f(x) + f(1 – 1/x) = 1/x ;               x≠0,1

Nilai f(3) adalah …

komatunpar03

(e) a, b, c, dan d salah

3. Diketahui x1, x2, dan x3 adalah akar-akar dari persamaan

komatunpar04

 

Jika x1 < x2 < x3, maka nilai dari x2(x1 + x3) adalah …

(a) 0     (b) 2     (c) 4     (d) 6     (e) a, b, c, dan d salah

4. Diketahui persamaan berikut

komatunpar04a

Jika   dimana a, b, dan c adalah bilangan bulat positif, maka nilai dari a+b+c adalah …

(a) 0     (b) 11     (c) 263     (d) 279     (e) a, b, c, dan d salah

5. Diketahui

komatunpar05

Nilai x adalah …

(a) 2016!     (b) 2015!     (c) 2017! – 1016!     (d) 2016! – 2015!     (e) a, b, c, dan d salah

6. Diketahui    menyatakan bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Nilai dari

komatunpar06

adalah …

(a) 86715      (b) 59290     (c) 67591     (d) 78519     (e) a, b, c, dan d salah

 

7. Peluang menemukan tepat terdapat 2 orang dari 4 orang lahir pada bulan yang sama adalah …

komatunpar07

(e) a, b, c, dan d salah

8. Misalkan vektor . Didefinisikan   sebagai panjang vektor  dan θ merupakan sudut yang dibentuk oleh vektor  dan vektor  . Diketahui , , dan θ merupakan bilangan bulat dengan  dan . banyaknya pasangan yang memenuhi  adalah …

(a)546      (b)596     (c)1092     (d)1117     (e) a, b, c, dan d salah

9. Diketahui an > 0 sedemikian sehingga . Misalkan  dan nilai minimum dari A adalah p. Digit terakhir dari pp adalah …

(a) 1     (b) 2    (c) 3    (d) 5    (e) a, b, c, dan d salah

10. Diketahui ABCD adalah sebuah persegi dengan P adalah titik di dalam persegi sehingga ∠PAB=∠PBA=π/12. Besar sudut ∠CPD adalah …

(A) π/12       (b) π/6       (c) π/4       (d) π/3       (e) a, b, c, dan d salah

11. Misalkan, a, b, c, dan d adalah akar-akar persamaan 3x4 – 6x3 + 3x2 – 12x + 4 = 0. Nilai dari

komatunpar11

adalah …

(a) 0     (b) –1    (c) –2    (d) –3    (e) a, b, c, dan d salah

12. Nilai dari  komatunpar12dapat dinyatakan dalam bentuk ab dengan a dan b adalah bilangan bulat positif. Agar a+b maksimum maka nilai axb adalah …

(a)1008      (b)2015     (c)2016     (d)4030     (e) a, b, c, dan d salah

13. Banyaknya triplet bilangan bulat (a, x, y) yang memenuhi persamaan

ax+y = ax + ay

Dengan a  [0, 2015] dan x, y  [1, 2015] adalah…

(a) 1     (b) 2015    (c) 2016    (d) 20152    (e) a, b, c, dan d salah

 

14. Misalkan A1, A2, A3, ….,A2015 masing-masing merupakan matriks persegi berorde n dengan determinan berturut-turut 1, 2, 3, ….,2015. Jika an = n untuk n bilangan bulat , maka nilai dari

komatunpar14

adalah …

komatunpar14a

(e) tidak dapat ditentukan

15. Nilai dari

komatunpar15

adalah …

komatunpar15a

(e) tidak dapat ditentukan

16. Diketahui fungsi komatunpar1

Jika gradien garis singgung  f(x) di x = 20 dapat dinyatakan dalam bentuk a/b dengan a dan b saling prima, maka nilai a+b adalah …

(a) 7     (b) 8    (c) 9    (d) 10    (e) a, b, c, dan d salah

17. Diketahui

komatunpar17

Banyaknya angka nol tak terputus dari n – m adalah …

(a) 500     (b)501     (c)502     (d)503     (e) a, b, c, dan d salah

 

18. Ani dan Ina sedang bermain bergantian melempar sebuah koin yang adil dengan peluang muncul sisi angka sebesar 0,5. Pemain pertama yang mendapat gambar adalah pemenangnya. Jika pemain pertama adalah Ani maka peluang Ina menang adalah m. Jika pemain pertama adalah Ina maka peluang Ina menang adalah n. Nilai n – m adalah …

(a) 0     (b)1/3     (c) 1/2    (d) 2/3    (e) a, b, c, dan d salah

 

19. Misalkan garis

ln ≡ y = anx

gn ≡ y = bnx

dengan

komatunpar19

Misalkan  pula titik An(n, n) untuk n bilangan bulat. Jika An direfleksikan terhadap ln  dielanjutkan garis gn, maka akan didapatkan titik An’. Jika An’ direfleksikan kembali oleh garis gn + 1 dilanjutkan garis ln+1 , maka didapat titik An”. Titik An” adalah …

(a)( –n, n)      (b)(n, –n)     (c)( –n, –n)     (d)(n, n)     (e) a, b, c, dan d salah

 

20. Diketahui A(0, 0). Misalkan transformasi  T1σ = = σi σi – 1 dengan menyatakan refleksi terhadap garis x=n. Jika A ditransformasikan oleh transformasi G dimana

komatunpar20

maka letak titik A sekarang adalah …

(a)(0, 0)      (b)(2015,0)     (c)(20152, 0)     (d)(20152 + 1, 0)     (e) a, b, c, dan d salah

 

22. Didefinisikan {x} adalah suatu fungsi yang menghasilkan nilai pecahan saja dari bilangan x. Contoh {5,2} = 0,2, . Didefinisikan pula   adalah bilangan bulat terbesar yang lebih kecil atau sama dengan x. Diketahui sistem persamaan berikut

komatunpar22

Nilai dari  adalah …

(a) 0,6982     (b) 0,7986    (c)0,8461     (d)0,9692     (e) a, b, c, dan d salah

 

23. Hasil dari

komatunpar23

adalah …

(a) –π/2     (b) –1     (c) 0    (d) 1    (e) a, b, c, dan d salah

 

24. Diketahui

komatunpar24

dengan ao = 2015.  Nilai dari

komatunpar24a

adalah …

(a) 2015!     (b) 2015    (c) 22015    (d) 1    (e) a, b, c, dan d salah

 

25. Hasil dari

komatunpar25

adalah …

(a) 0                     (b) 1

komatunpar25a

(e) a, b, c, dan d salah

26. Diketahui

f(x) = 1010x

g(x) = log (x/10)

ho(x) = g(f(x))

hn+1 = ho(hn(x))

dengan n ≥ 0. Jika P = h2015(1) + h2014(1), maka jumlah digit-digit dari P adalah …

(a) 14108     (b)14115     (c) 16120    (d)16128     (e) a, b, c, dan d salah

 

 

27. Domain untuk fungsi

komatunpar27

adalah …

komatunpar27a

28. Diketahui suku banyak f(x) berderajat 6 akan

bersisa 1 ketika dibagi dengan x – 1,

bersisa 7 ketika dibagi dengan x – 2,

bersisa 17 ketika dibagi dengan x – 3,

bersisa 31 ketika dibagi dengan x – 4,

bersisa 49 ketika dibagi dengan x – 5,

dan bersisa 71 ketika dibagi dengan x – 6.

Nilai dari f(0) adalah …

(a) 718     (b) 719    (c)720     (d) 721    (e) a, b, c, dan d salah

 

29. Misalkan f(x) adalah suku banyak berderajat 2015 yang memenuhi f(k)=1/k untuk k  {1, 2, 3, …..,2016}. Nilai dari f(2017) adalah

(a) – 1     (b)0     (c) 1    (d) 1/2017    (e) a, b, c, dan d salah

 

30. Diketahui persamaan

(px – q)2 + (qx – p)2 = x

Mempunyai setidaknya sebuah solusi bilangan bulat dengan p dan q bilangan bulat positif dengan p, q ¹0. Jumlah dari semua solusi pada persamaan di atas adalah …

(a)1½       (b) 4/3     (c)2 ½      (d) 7/3     (e) a, b, c, dan d salah

 

31. Diberikan fungsi kuadrat

y = (a + 1)x2 + bx + 1

yang bersinggungan dengan garis singgung

y = x2 – (2a+1)x + a2 + a

di absis a. Banyaknya pasangan bilangan bulat (a, b) yang memenuhi adalah …

(a) 1     (b) 2    (c) 3    (d) 4    (e) a, b, c, dan d salah

 

 

32. Misalkan a  [0, π] memenuhi persamaan

komatunpar32

Nilai tan2 a adalah …

komatunpar32a

 

 

(e) a, b, c, dan d salah

 

 

32. Diberikan segitiga ABC adalah segitiga siku-siku di A. Sebuah lingkaran diletakkan di dalam segitiga ABC sehingga menyinggung ketiga sisinya. Jika lingkaran menyinggung sisi miring di titik D, maka kesimpulan yang dapat ditarik adalah …

(a) 2CD = AB + BC – AC

(b) 2CD = AC + AB – BC

(c) CD = AB + BC – AC

(d) CD = AC + AB – BC

(e) a, b, c, dan d salah

 

 

34. Jarak terdekat antara lingkaran

x2 + y2 – (2a. cos p)x – (2a. sinp)y + a2 sin2 p = 0

dengan lingkaran

x2 + y2 – (2a. sin q)x – (2a. cos q)y + a2 cos2 q = 0

untuk (p, q)  (0, π/2)  dan a > 0 adalah …

(a) 0     (b) a √2   (c) 2a    (d) a(cos q + sin p)    (e) a, b, c, dan d salah

 

35. Misalkan a, b, c, dan d adalah bilangan riil tak nol sehingga . Diketahui

f(1) = 1

f(2) = 2

f(f(x)) = x

Misal terdapat bilangan p sedemikian sehingga p ≠ f(x) untuk setiap x sembarang. Nilai dari p adalah …

(a) –1     (b) –½     (c) 0    (d) ½     (e) a, b, c, dan d salah

 

 

 

 

Bagian kedua : ISIAN

1. Jika 0,abababab…+ 0,abcabcabc….= 33/37, maka nilai dari a + b + c adalah …

 

2. Dua digit terakhir dari

komatunpar37

adalah …

 

3.  merupakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar atau sama dengan x. Jika

komatunpar38

Maka nilai  adalah …

 

4. Diketahui

komatunpar39

Nilai dari sin (A+B) adalah …

 

5. Banyaknya pasangan bilangan riil (x, y) sehingga 5x2 + 8y2 + ½ ≤  x(4y + 3) adalah …

 

6. Diketahui vektor

komatunpar40

Nilai p dan q dipilih secara acak dari {1, 2, 3, …,n} dan setiap bilangan dalam himpunan boleh dipilih lebih dari sekali. Jika peluang dan  saling tegak lurus adalah 2/81, maka nilai n adalah …

 

7. Jika nilai dari

komatunpar41

maka digit terakhir a + b adalah …

 

8. Misalkan x, y, z  R . Nilai minimum dari

f(x, y, z) = 2x2 + 2y2 + 5z2 – 2xy – 4x – 4yz – 2z + 15

adalah …

 

9. Diketahui 2 buah bola masing-masing berjari-jari R dan r dengan R > r diletakkan di dalam sebuah kubus dengan panjang sisi 2. Bola berjari-jari R menyinggung seluruh sisi kubus sedangkan bola berjari-jari r terletak di salah satu sudut kubus, menyinggung sisi-sisi kubus dan menyinggung pula bola berjari- jari R. Jika  r = a – √b dengan b bukan bilangan kuadrat sempurna, maka a + b = …

 

10. Diketahui sistem persamaan berikut

(x2 + xy + y2)(y2 + yz + z2) (z2 + xz + x2) = xyz

(x4 + x2y2 + y4)(y4 + y2z2 + z4) (z4 + z2x2 + x4) = (xyz)3

Dengan x, y, z merupakan bilangan riil positif, banyaknya solusi sistem persamaan tersebut adalah …

 

11. Diketahui x merupakan bilangan riil yan g memenuhi persamaan

komatunpar42

Jika x dinyatakan dalam bentuk  p/q dengan FPB (p, q) = 1, maka p + q = …

 

12. Misalkan matriks

komatunpar43

dan nilai determinan matriks A adalah r dengan p, q, r merupakan bilangan prima. Banyaknya digit dari bilangan (p + q + r)2015 adalah …

 

13. Alvin mengikuti kompetisi matematika Unpar 2015 yang terdiri dari 50 soal pilihan ganda dengan 5 pilihan jawab untuk setiap soalnya, dimana tepat 1 pilihan jawaban yang benar dari 5 pilihan jawab yang disediakan. Diasumsikan Alvin memiliki peluang 60% dalam mengetahui jawaban yang benar untuk setiap soalnya dan memiliki peluang sebesar 20% dalam menebak jawaban yang benar. Diasumsikan pula Alvin pasti menjawab seluruh soal dan apabila dia tidak mengetahui jawaban yang benar, dia pasti akan menjawab soal dengan menebak. Jika point untuk jawaban yang benar adalah +2 dan – 1 untuk jawaban yang salah maka espektasi dari poin yang diperoleh Alvin adalah …

 

14. Jumlah semua bilangan prima p yang memenuhi 5p + 4p4 merupakan bilangan kuadrat sempurna adalah …

 

15. Kevin merupakan pengusaha yang menjual mesian berjenis A dan B. Tahun ini ia menjual mesin jenis A  seharga Rp 24.000,00/mesin dan jenis B seharga Rp 34.000,00/mesin. Dari mesin A, ia mendapat untung selama satu bulan Rp 4.000,00/mesin dan dari mesin B ia mendapat untung selama satu bulan Rp 4.000,00/mesin. Kantornya hanya dapat memuat 500 mesin dan modal yang ia punya sebesar Rp 12.000,00. Kevin juga ingin menjual minimal 1 mesin dari masing-masing jenisnya. Banyaknya kemungkinan pasangan mesin A dan B yang dibuat agar mendapatkan mesin A dan B yang dibuat agar mendapatkan keuntungan maksimum selama satu bulan adalah …