Ketidaksamaan 2

Pembahasan di sini merupakan kelanjutan dari Ketidaksamaan 1

 

Contoh Soal 9

Jika x, y, dan z bilangan real positif, buktikan bahwa

Jawab :

Untuk a dan b bilangan real yang tidak negatif berlaku

maka

Artinya

Jika ketiga ketidaksamaan terakhir dijumlahkan maka

Jika kedua ruas dibagi 2 maka

(terbukti)

 

Contoh Soal 10 :

Buktikan bahwa

Jika a, b, dan c blangan real yang tidak negatif maka

Jawab :

 

(x – y)2 ≥ 0

(x – z)2 ≥ 0

(y – z)2 ≥ 0

Jika ketiganya kita jumlahkan maka

(x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ 0

x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 + y2 – 2yz + z2 ≥ 0

2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xz – 2yz ≥ 0

Jikakedua ruas dibagi 2 maka

x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz ≥ 0

Sekarang kedua ruas dikali dengan (x + y + z)

(x + y + z)(x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz) ≥ 0

x3 + xy2 + xz2  – x2y – x2z – xyz + x2y + y3 + yz2 – xy2 – xyz – y2z + x2z + y2z + z3 – xyz – xz2 – yz2 ≥ 0

x3 + y3 + z3 – 3xyz ≥ 0

x3 + y3 + z3 ≥ 3xyz

Sekarang kita ganti , dan  sehingga

(terbukti)

Cara II :

Misalkan ,  

maka a + b + c = 3A dan abc = G3

Berdasarkan contoh 8

(terbukti)

 

Contoh soal 11

Jika a, b, c, dan d bilangan real yang tidak negatif, buktikan bahwa

Jawab :

maka

Jika keempat ketidaksamaan dijumlahkan maka

 

Jika kedua ruas dibagi 3 maka

(terbukti)