Ketidaksamaan

Untuk lebih mengenal ketidaksamaan, marilah kit kenal dulu istilah rata-rata aritmetika (RA), rata-rata geometri (RG), rata-rata harmonik (RH) dan rata-rata kuadratik (RK)

Misalkan kita memiliki bingan-bilangan positif a1, a2, a3, a4, ….,an  maka berlaku

Hubungan antara RA, RG, RH dan RK adalah sebagai berikut :

Marilah kita buktikan untuk ode 2.

Misalkan kita memiliki bilangan positif a dan b, maka berlaku

 ………………………………………………………………….(1)

(terbukti bahwa rata-rata geometri  rata-rata aritmetika)

Sekarang kita buktikan untuk rata-rata harmonik dan geometri

Jika kedua ruas dikali dengan  maka

Sekarang kedua ruas dibagi dengan a + b sehingga

………………………………………………………………….(2)

Sekarang kita bandingkan rata-rata aritmetika dengan rata-rata kuadratik

Jika kedua ruas ditambah dengan a2 + b2 maka

Kedua ruas dibagi 4 sehingga

Jika diakarkan maka

………………………………………………………………….(3)

Dari (1), (2) dan (3) maka diperoleh

 

Contoh soal 1 :

Jika x, y, dan z bilangan real yang tidak negatif, buktikan bahwa

Jawab :

 ……………………….(1)

Dengan cara yang sama diperoleh

 ………………………(2)

 ………………………(3)

Jika kita kalikan (1), (2) dan (3) maka

 

Contoh soal 2 :

Untuk setiap bilangan real a, b, dan c buktikan bahwa :

Jawab :

sehingga

Jika kita jumlahkan maka

 

Contoh Soal 3

Jika a, b, c > 0 dan diketahui a + b + c = 1 buktikan bahwa

Jawab :

a + b + c = 1

b + c= 1 – a ……………………………………………..(1)

 …………………………………….(2)

Dengan mensubtitusi (1) ke (2) maka

 ……………………………………(3)

Dengan cara yang sama diperoleh

  ……………………………………(4)

  ……………………………………(5)

Jika kita kalikan (3), (4) dan (5) maka diperoleh

 

Contoh soal 4

Nilai minimum fungsi

adalah …

Jawab :

dengan mengganti  dan   maka

 

Contoh Soal 5

Untuk  maka Nilai minimum adari fungsi

adalah …

Jawab :

sekarang a dan b kita ganti

     dan 

sehingga :

 

Contoh Soal 6

Diketahui x2 + y2 = 50

Nilai maksimum dari xy adalah ….

Jawab :

sekarang kita pilih a = x2 dan b = y2 .

Maka

 

 Contoh soal 7 :

Diketahui a1.a2.a3.a4…….an = 1

Buktikan bahwa

Jawab :

dengan cara yang sama diperoleh

……………………………

Jika semua persamaan dikalikan maka

 

Contoh soal 8

Jika a, b, c, dan d bilangan real yang tidak negatif, buktikan bahwa

Jawab :

 ………………………………………………………………..(1)

 ………………………………………………………………..(2)

Jika (1) dikali dengan (2) maka

 ………………………………………………(3)

Kemudian kita pilih

…………………………………………………………………(4)

Dengan mengganti x = a + b dan y = c + d maka

 ……………………………….(5)

Dari (3) dan (5) bisa disimpulkan

 

Untuk melihat contoh berikutnya, silakan klik di ketidaksamaan 2