Aljabar

Ketidaksamaan 2

Pembahasan di sini merupakan kelanjutan dari Ketidaksamaan 1   Contoh Soal 9 Jika x, y, dan z bilangan real positif, buktikan bahwa Jawab : Untuk a dan b bilangan real yang tidak negatif berlaku maka Artinya Jika ketiga ketidaksamaan terakhir dijumlahkan maka Jika kedua ruas dibagi 2 maka (terbukti)   Contoh Soal 10 : Buktikan bahwa Jika a, b, dan c blangan real yang tidak negatif maka Jawab :   (x – y)2 ≥ 0 (x – z)2 ≥ 0 (y – z)2 ≥ 0 Jika ketiganya kita jumlahkan maka (x – y)2 + (x – z)2 + (y – z)2 ≥ 0 x2 – 2xy + y2 + x2 – 2xz + z2 + y2 – 2yz + z2 ≥ 0 2x2 + 2y2 + 2z2 – 2xy – 2xz – 2yz ≥ 0 Jikakedua ruas dibagi 2 maka x2 + y2 + z2 – xy – xz – yz ≥ 0 Sekarang kedua ruas dikali dengan (x + y +...

read more

Bilangan Kuadrat Tidak Negatif

Hasil pengkuadratan bilangan real, tentunya tidak pernah negatif. Paling kecil akan bernilai nol, dan paling besar bisa mendekati tak terhingga. Begitu juga dengan harga mutlak, dan hasil penarikan akar, nilainya tidak akan pernah negatif. Berikut ini akan saya sajikan soal yang berkaitan dengan harga mutlak, hasil penarikan akar dan bilangan kuadrat.   Contoh Soal 1 : Tentukan nilai p yang memenuhi persamaan |2x + 3y – 13 | + |3x – y – 14 | + | x + 7y – p | = 0 Jawab : Jika |a| = 0 maka a = 0 Jika |a| + |b| = 0 maka a = 0 dan b = 0 Jika |a| + |b| + |c| = 0 maka a = 0, b = 0 dan c = 0   Artinya jika kita memiliki persamaan |2x + 3y – 13 | + |3x – y – 14 | + | x + 7y – p | = 0 maka 2x + 3y – 13 = 0...

read more

Suku Banyak bagian 2

Sebelum mempelajari ini sebaiknya baca suku banyak bagian 1   Contoh Soal 8 Persamaan kubik yang akar-akarnya lima kali akar-akar persamaan x3 – 7x2 + 4x – 6 = 0 adalah … Jawab : Misalkan, akar-akar persamaan adalah p, q, dan r p + q + r = -b/a = 7                   pq + pr + qr = c/a = 4                     pqr = -d/a = 6 x1 = 5p       x2 = 5q         x3 = 5r x1  + x2 + x3  = 5p + 5q + 5r = 5(p + q + r) = 35 x1 x2 + x1 x3 +x2 x3  = 5p.5q + 5p.5r + 5q.5r = 25 (pq + pr + qr) = 100 x1 x2 x3 = 5p.5q.5r = 125 pqr = 125.6 = 750 Persamaan kubik yang akar-akarnya x1 , x2 , dan x3  adalah x3  – (x1 +x1 +x1 )x2  + (x1 x2 + x1 x3 +x2 x3)x – x1x2x3 = 0 x3  – 35x2  + 100x...

read more

Suku Banyak

Suku Banyak   Bentuk umum anxn + an-1xn-1 + an-2xn-2 + ….+a2x2 + a1x + ao dengan an ≠0 dan n disebut derajat suku banyak   1. Pembagian Suku Banyak    2. Teorema Sisa Jika suku banyak f(x) dibagi oleh suku banyak g(x) dan diperoleh hasil bagi h(x) maka berlaku f(x) = g(x).h(x) + sisa Sisa akan berupa suku banyak dengan derajat sebesar-besarnya adalah n – 1 Jika g(x) berupa fungsi linear maka sisa berupa konstanta f(x) = (x – a) g(x) + sisa akibatnya f(x) : (x – a) maka sisa = f(a) f(x) : (x + a) maka sisa = f(-a) f(x) : (ax + b) maka sisa f(-b/a)   3.  Teorema Faktor Jika suku banyak f(x) habis dibagi x – a maka f(a) = 0   Pembagian Istimewa Untuk setiap n berlaku an – bn = (a – b)(a n – 1 + an – 2b + an –...

read more

Ketidaksamaan

Untuk lebih mengenal ketidaksamaan, marilah kit kenal dulu istilah rata-rata aritmetika (RA), rata-rata geometri (RG), rata-rata harmonik (RH) dan rata-rata kuadratik (RK) Misalkan kita memiliki bingan-bilangan positif a1, a2, a3, a4, ….,an  maka berlaku Hubungan antara RA, RG, RH dan RK adalah sebagai berikut : Marilah kita buktikan untuk ode 2. Misalkan kita memiliki bilangan positif a dan b, maka berlaku  ………………………………………………………………….(1) (terbukti bahwa rata-rata geometri  rata-rata aritmetika) Sekarang kita buktikan untuk rata-rata harmonik dan geometri Jika kedua ruas dikali dengan...

read more