Aturan Cosinus

Diketahui segitiga ABC sebagai berikut :

segitiga-abc

Pada segitiga ABC berlaku

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

 

Contoh soal 1

Pada segitiga ABC nilai maksimum dari cos A. cos B. cos C sama dengan …..

Jawab :

Aturan Cosinus :

b2 = a2 + c2 – 2ac cos B

a2 + c2 – b2 = 2ac cos B ………………(1)

Aturan Cosinus :

a2 = b2 + c2 – 2bc cos A

a2 – b2 – c2 = – 2bc cos A ……………..(2)

 

Setiap bilangan kuadrat ≥ 0

(a2 – b2)2  ≥0

Jika kedua ruas dikurangi dengan c4 maka

(a2 – b2)2 – c4  ≥ – c4

Jika difaktorkan maka

(a2 – b2 + c2)(a2 – b2 – c2 ) ≥ – c

Dengan mensubtititusikan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh

(2ac cos B)(– 2bc cos A) ≥ – c

– 4abc2 cos A cos B ≥ –c4

4abc2 cos A cos B ≤ c4

 …………………………………………..(3)

Dengan cara yang sama diperoleh :

 …………………………………………..(4)

 ……………………………………………(5)

Jika persamaan (3), (4), dan (5) dikalikan maka

Jika diakarkan maka

Jadi, nilai maksimum dari cos A. cos B. cos C sama dengan 1/8

 

Contoh Soal 2 :

Diberikan segitiga ABC dengan sisi-sisi a, b, dan c. Nilai  a2 + b2 + c2 sama dengan 12 kali luas segitiga ABC. Besarnya nilai cot A + cot B + cot C adalah

Jawab :

Dari soal diketahui :

a2 + b2 + c2 sama dengan 12 kali luas segitiga ABC

a2 + b2 + c2  = 12 L …………………………………..(1)

Luas segitiga ABC bisa dinyatakan dengan

L = ½ ab sin C

sehingga

ab sin C = 2 L ……………………………………(2)

Menurut aturan cosinus

 

c2 = a2 + b2 – 2ab cos C

maka

2ab cos C = a2 + b2 – c2

Sehingga

Jika kedua ruas dibagi dengan sin C maka diperoleh

Dengan mensubtitusikan persamaan (2) maka

Jadi :

 ……………………………….(3)

Dengan cara yang sama diperoleh

 …………………………………..(4)

 …………………………………….(5)

Dengan menjumlahkan persamaan (3), (4), dan (5) maka diperoleh

subtitusikan persamaan (1) maka