Pembahasan Olimpiade Matematika

Rumus Heron

January 1, 2013

Rumus Heron adalah rumus yang dipakai untuk menghitung luas segitiga yang diketahui ketiga sisinya.

Misalkan diketahui segitiga ABC dengan panjang sisi a, b, dan c. Jika s menyatakan setengah keliling segitiga ABC, atau dikatakan s=½(a+b+c) maka luas segitiga tersebut bisa dinyatakan dengan

$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Rumus tersebut bisa dibuktikan sebagai berikut :

Cara pertama

misalkan terdapat sebuah segitiga ABC sebagai berikut dengan alas segitiga adalah a, dan t adalah tinggi segitiga yang ditarik dari titik A

Rumus pythagoras pada segitiga ADC adalah

x² + t² = b²…………………………………………(1)

Rumus pythagoras pada segitiga ADB adalah

(a – x)² + t² = c²

a² – 2ax + x² + t² = c² …………………………..(2)

Dengan mensubstitusi persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh

a² – 2ax + b² = c²

2ax = a² + b² – c²

$x=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a}$

Dari persamaan (1) diperoleh

t² = b² – x²

$t^{2}=b^{2}-\left ( \frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )^{2}$

$t^{2}=\left ( b+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( b-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )$

$t^{2}=\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{2ab-a^{2}-b^{2}+c^{2}}{2a} \right )$

$t^{2}=\left ( \frac{a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2})}{2a} \right )$

$t^{2}=\left ( \frac{(a+b)^{2}-c^{2}}{2a} \right )\left ( \frac{c^{2}-(a-b)^{2}}{2a} \right )$

$t^{2}=\left ( \frac{(a+b+c)(a+b-c)}{2a} \right )\left ( \frac{(c+a-b)(c-(a-b))}{2a} \right )$

$t^{2}=\frac{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)}{4a^{2}}$

$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-a+b)$

$4a^{2}t^{2}=(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+bc-2b)(a+b+c-2a)$

karena s=½(a+b+c) maka a + b + c = 2s

Jadi

$4a^{2}t^{2}=(2s)(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)$

$4a^{2}t^{2}=16s(s-c)(s-b)(s-a)$

Jika kedua ruas diakarkan maka diperoleh

$2at=4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$

sehingga

$\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$

Jadi luas segitiga adalah

$L=\frac{1}{2}at=2\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Cara kedua

Menurut aturan cosinus :

c² = a² + b² – 2ab cos C

2ab cos C = a2 + b2 – c2

$\cos C=\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab}$

Luas segitiga bisa dinyatakan sbb :

L = ½ab sin C

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\sin ^{2}C}$

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{1-\cos ^{2}C}$

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{(1+\cos C)(1-\cos C)}$

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( 1+\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( 1-\frac{a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )}$

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\left ( \frac{2ab+a^{2}+b^{2}-c^{2}}{2ab} \right )\left( \frac{2ab-(a^{2}+b^{2}-c^{2})}{2ab} \right )}$

$L=\frac{1}{2}ab\sqrt{\frac{(a^{2}+2ab+b^{2}-c^{2})(c^{2}-(a^{2}-2ab+b^{2}))}{4a^{2}b^{2}}}$

$L=\frac{1}{2}ab.\frac{\sqrt{((a+b)^{2}-c^{2})(c^{2}-(a-b)^{2})}}{2ab}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b-c)(c+a-b)(c-(a-b))}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{(a+b+c)(a+b+c-2c)(a+b+c-2b)(a+b+c-2a)}$

dengan mengganti a+b+c=2s maka diperoleh

$L=\frac{1}{4}\sqrt{2s(2s-2c)(2s-2b)(2s-2a)}$

$L=\frac{1}{4}\sqrt{16s(s-c)(s-b)(s-a)}$

$L=\frac{1}{4}.4\sqrt{s(s-c)(s-b)(s-a)}$

$L=\sqrt{s(s-a)(s-b)(s-c)}$

Posted by omson in Geometri

Soal-Soal Lingkaran

October 2, 2012

Berikut ini adalah soal-soal lingkaran. Untuk mengingat-ingat rumusnya, silakan di klik di sini.

Soal 1 :

Diketahui segitiga siku-siku memiliki sisi siku-siku 4 cm dan 3 cm. Tentukan panjang jari-jari lingkaran dalamnya

Jawab :

Kita pilih AB = 3 cm dan BC = 4 cm. Dengan memakai pythagoras maka diperoleh AC = 5 cm. Karena BF = R maka AF = 3 – R . Karena BD = R maka CD = 3 – R.

Dari satu titik, jika ditarik 2 garis singgung maka panjangnya akan sama, sehingga

AE = AF = 3 – R

CE = CD = 4 – R

Dengan demikian

AC = AE + EC

5 = 3 – R + 4 – R

2R = 2

R = 1 cm

Soal 2

Lingkaran K memiliki jari-jari 8 cm dan berpusat di titik A. Lingkaran L menyinggunng lingkaran K dari dalam, berpusat di titik B dan memiliki diameter kurang dari 4 cm. Lingkaran M bersinggungan luar dengan lingkaran L, menyinggung lingkaran K dari dalam, berpusat di titik C dan memiliki diameter kurang dari 4 cm. Keliling segitiga ABC sama dengan …

Jawab :

Perhatikan bahwa

AB + R_B = 8 cm

R_C + CA = 8 cm

BC = R_B + R_C

sehingga

keliling segitiga ABC = AB + BC + CA

= AB + R_B + R_C + CA

= (AB + R_B) + (R_C + CA)

= 8 + 8 = 16 cm

Soal 3

Dari titik A ditarik dua buah garis yang menyinggung lingkaran L di titik B dan C. Titik D dan E masing-masing terletak pada ruas garis AB dan AC sedemikian hingga DE menyinggung lingkaran L. Jika AB = 11 cm maka keliling segitiga ADE sama dengan …

Jawab :

Dua buah garis singgung yang ditarik dari titik yang sama panjangnya akan sama, sehingga

AC = AB = 11 cm

BD = DF = x cm

FE = EC = y cm

sehingga

Keliling segitiga ADE

= AD + DE + EA

= AD + DF + FE + EA

= AD + x + y + EA

= AD + DB + CE + EA

= AB + CA

= 11 + 11

= 22 cm

Soal 4 :

Lingkaran K dan L sepusat, dengan jari-jari K lebih besar daripada jari-jari L. Titik A dan B pada busur lingkaran K, sehingga garis AB menyinggung lingkaran L. Jika AB = 12 cm maka luas daerah yang dibatasi lingkaran K dan L adalah …

Jawab :

AB = 12 cm

Karena D titik tengan AB maka

AD = DB = 6 cm

Segitiga BCD siku-siku maka

BC² = CD² + DB²

R² =r² + 6²

R² =r² + 36

R² – r² = 36

Luas yang diarsir

= Luas lingkaran besar – luas lingkaran kecil

= $\small \fn_jvn \pi R^{2}-\pi r^{2}$

$\small \fn_jvn =\pi \left ( R^{2}-r^{2} \right )$

$=36\pi$

Soal 5

Lingkaran M dan N masing-masing berjari-jari 12 cm dan 4 cm. Jarak antara pusat lingkaran M dan N adalah 17 cm. Garis k adalah garis singgung persekutuan luar lingkaran M dan N. Garis k menyinggung lingkaran M dan N masing-masing adalah titik P dan Q. Panjang PQ sama dengan …

Jawab :

R = 12 cm dan r = 4 cm

AP = R – 12 cm

BQ = r = 4 cm

AC = BQ = 4 cm

CP = AP – AC = 12 – 4 = 8 cm

CQ = AB = 17 cm

$\small \fn_jvn PQ^{2}=CQ^{2}-cp^{2}=17^{2}-8^{2}=289-64=225$

$\small \fn_jvn PQ=\sqrt{225}=\begin{matrix} 15 &cm \end{matrix}$

Soal 6.

Lingkaran P dan Q masing-masing memiliki jari-jari 10 cm dan 5 cm. Jarak kedua pusatnya adalah 25 cm. Jika garis m adalah garis singgung persekuruan dalam lingkaran P dan Q serta menyinggung di A dan B maka panjang AB sama dengan …

Jawab :

PQ = 25 cm

R = 10 cm

r = 5 cm

PA = R = 10 cm

BQ = r = 5 cm

AT = BQ = 5 cm

PT = PA + AT = 10 + 5 = 15 cm

$\small \fn_jvn TQ^{2}=PQ^{2}-PT^{2}=25^{2}-15^{2}=625-225=400$

$\small \fn_jvn TQ=\sqrt{400}=\begin{matrix} 20 & cm \end{matrix}$

AB = TQ = 20 cm

Posted by omson in Geometri

Olimpiade Matematika Lingkaran

September 30, 2012

Soal olimpiade matematika tentang lingkaran merupakan salah satu materi yang menarik. Biasanya pembahasan soal-soal olimpiade matematika lingkaran tidak begitu panjang, hanya saja analisisnya harus mendalam. Seperti geometri bidang pada umumnya, maka lingkaran cenderung tidak membutugkan banyak rumus.

Beberapa hal yang harus diingat

Luas daerah lingkaran = $\pi r^{2}$

Keliling lingkaran = $2\pi r$

Busur , juring dan tembereng

Derah yang diarsir di sebelah kiri disebut tembereng, sedangkan daerah kanan yang diarsir adalah juring. Garis lurus AB disebut tali busur, sedangkan garis lengkung AB disebut busur.

Jika sudut AOB = $\alpha$

maka

Panjang busur AB = $\frac{\alpha }{360^{o}}.2\pi r$

Luas juring AOB = $\frac{\alpha }{360^{o}}.\pi r^{2}$

Luas tembereng AB = luas juring AOB – Luas segitiga AOB

Sudut Pusat dan Sudut Keliling

$\alpha$ = sudut pusat lingkaran

$\beta$ = sudut keliling lingkaran

antara sudut pusat dan sudut keliling berlaku

$\large \alpha =2\beta$

sudut pusat = 2 x sudut keliling

Segi empat tali busur

Segi empat tali busur adalah segi empat yang dibentuk oleh talibusur-tali busur lingkaran

Jumlah sudut yang berhadapan pada segi empat tali busur adalah 180^o

A + C = 180^o B + D = 180^o

Layang-layang garis singgung

Dua buah ruas garis yang menyinggung lingkaran dan ditarik dari titik yang sama memiliki panjang yang sama.

Garis singgung selalu tagak lurus pada jari-jari lingkaran yang ditarik dari pusat ke titik singgung

Sudut yang berhadapan pada layang-layang garis singgung adalah 180^o

$\large \alpha +\beta =180^{o}$

Kuasa titik terhadap lingkaran

PQ² = PR.PS = PT.PU

Soal-soal lingkaran

(silakan di klik)

Posted by omson in Geometri

Teori Bilangan

Dalam teori bilangan, kita harus mengetahui istilah keterbagian. Keterbagian menunjukkan tentang ciri-ciri bilangan yang habis dibagi, diantaranya adalah

1. Sebuah bilangan bisa dibagi 2 jika angaka terakhirnya bisa dibagi 2

2. Sebuah bilangan bisa dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya bisa dibagi 3

4. Sebuah bilangan bisa dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya bisa dibagi 9

5. Sebuah bilangan bisa dibagi 5 jika angka terakhirnya 5 atau 0

6. Sebuah bilangan bisa dibagi 6 jika bilangan tersebut bisa dibagi 2 dan 3

7. Sebuah bilangan bisa dibagi dengan 4 jika 2 angka terakhirnya bisa dibagi 4

8. Sebuah bilangan bisa dibagi dengan 8 jika 3 angka terakhirnya bisa dibagi 8

9. Sebuah bilangan bisa dibagi dengan 16 jika 4 angka terakhirnya bisa dibagi 16

10. Sebuah bilangan bisa dibagi dengan 2ⁿ jika n angka terakhirnya bisa dibagi 2ⁿ

Sebelum membuktikan, marilah kita pahami dulu pengertian berikut :

78 = 10.7 + 8

475 = 4.100 + 7.10 + 5

6239 = 6.1000 + 2.100 + 3.10 + 9

$\overline{abc}$ = 100a + 10b + c

$\overline{abcde}$ = 10000a + 1000b + 100c + 10d + e

Pengertian abc berbeda dengan $\overline{abc}$ .

abc berarti perkalian antara 3 bilangan yaitu a, b, da c

$\overline{abc}$ artinya adalah bilangan yang terdiri dari 3 angka yaitu

a sebagai ratusan

b sebagai puluhan

c sebagai satuan

Sehingga $\overline{abc}$ = 100a + 10b + c

Jadi :

$\overline{a_{n}a_{n-1}a_{n-2}.....a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ = a_n.10ⁿ + a_n-1.10^n-1 + a_n-2.10^n-2 + ….+ 1000a₃ + 100a₂ + 10a₁ + a_o

Untuk pembuktian-pembuktian berikut semua bilangan kita misalkan menjadi $\overline{a_{n}a_{n-1}a_{n-2}.....a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$

Bukti bahwa jika sebuah bilangan bisa dibagi 2 jika angaka terakhirnya bisa dibagi 2

Misalkan bilangan tersebut adalah

$\overline{a_{n}a_{n-1}a_{n-2}.....a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ $=\underset{\begin{matrix} habis & dibagi &2 \end{matrix}}{\underbrace{a_{n}.10^{n}+a_{n-1}.10^{n-1}+a_{n-2}.10^{n-2}+...+1000a_{3}+100a_{2}+10a_{1}}}+a_{0}$

Jadi agar habis dibagi 2 maka ao harus habis dibagi 2

Bukti bahwa jika sebuah bilangan bisa dibagi 3 jika jumlah angka-angkanya bisa dibagi 3 dan jika Sebuah bilangan bisa dibagi 9 jika jumlah angka-angkanya bisa dibagi 9

$\overline{a_{n}a_{n-1}a_{n-2}.....a_{3}a_{2}a_{1}a_{0}}$ $=a_{n}.10^{n}+a_{n-1}.10^{n-1}+a_{n-2}.10^{n-2}+...+1000a_{3}+100a_{2}+10a_{1}+a_{0}$

$=a_{n}.\underset{n}{\underbrace{999...999}}+a_{n}+a_{n-1}.\underset{n-1}{\underbrace{999...999}}+a_{n-1}+a_{n-2}.\underset{n-2}{\underbrace{999...999}}+a_{n-2}+...$

$+999a_{3}+a_{3}+99a_{2}+a_{2}+9a_{1}+a_{1}+a_{0}$

$=\underset{\begin{matrix} habis &dibagi & 9 \end{matrix}}{\underbrace{{\underset{n}{\underbrace{99...99}}a_{n}+\underset{n-1}{\underbrace{99...99}}a_{n-1}}+\underset{n-2}{\underbrace{99...99}}a_{n-2}+...+999a_{3}+99a_{}+9a_{1}}}}$

$+a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{2}+a_{1}+a_{0}$

Karena suku depan sudah habis dibagi 9 maka agar bilangan habis dibagi 3 maka bagian $a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{2}+a_{1}+a_{0}$ harus habis dibagi 3

Karena suku depan sudah habis dibagi 9 maka agar bilangan habis dibagi maka bagian $a_{n}+a_{n-1}+a_{n-2}+...+a_{2}+a_{1}+a_{0}$ harus habis dibagi 9

(under contruction)

Posted by omson in Teori Bilangan

Pertidaksamaan 3

September 25, 2012

Sebelum mempelajari bagian ini alangkah lebih baik jika anda mempelajari pertidaksamaan 1. Nah, sekarang kita lanjutkan dengan membahas contoh-contoh berikut :

Contoh 6 :

Nilai minimum dari fungsi

$\begin{matrix} f(x)=x\sin x+\frac{25}{x\sin x} & untuk& 0\leq x\leq \pi \end{matrix}$

adalah ….

Jawab :

misalkan $\fn_jvn \begin{matrix} a=x\sin x & dan & b=\frac{25}{x\sin x} \end{matrix}$

Berdasarkan hubungan RA dan RG maka

$\fn_jvn RA\geq RG$

$\fn_jvn \frac{a+b}{2}\geq \sqrt{ab}$

$\fn_jvn a+b\geq 2\sqrt{ab}$

$\fn_jvn x\sin x+\frac{25}{x\sin x}\geq 2\sqrt{x\sin x\left ( \frac{25}{x\sin x} \right )}$

$\fn_jvn x\sin x+\frac{25}{x\sin x}\geq 2\sqrt{25}$

$\fn_jvn x\sin x+\frac{25}{x\sin x}\geq 10$

$\fn_jvn f(x)\geq 10$

Jadi, nilai minimum dari f(x) adalah 10

Contoh 7 :

Jika a, b, c adalah bilangan real yang tidak negatif buktikan bahwa

$\fn_jvn \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}\geq \frac{3}{2}$

Jawab :

Untuk lebih memudahkan bagian ruas kiri saya misalkan

x = a + b, y = a + c dan z = b + c

Karena $\fn_jvn P+Q\geq 2\sqrt{PQ}$ maka

$\fn_jvn \frac{x}{y}+\frac{y}{x}\geq 2$ , $\fn_jvn \frac{x}{z}+\frac{z}{x}\geq 2$ dan $\fn_jvn \frac{y}{z}+\frac{z}{y}\geq 2$

$\fn_jvn \frac{a}{b+c}+\frac{b}{a+c}+\frac{c}{a+b}$

$\fn_jvn =\frac{a+b+c-(b+c)}{b+c}+\frac{a+b+c-(a+c)}{a+c}+\frac{a+b+c-(a+b)}{a+b}$

$\fn_jvn =\frac{a+b+c}{b+c}- 1 +\frac{a+b+c}{a+c} - 1+\frac{a+b+c}{a+b} - 1$

$\fn_jvn =\frac{a+b+c}{b+c} +\frac{a+b+c}{a+c}+\frac{a+b+c}{a+b}-3$

$\fn_jvn =\left ( a+b+c \right )\left ( \frac{1}{b+c} +\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right ) -3$

$\fn_jvn =\frac{1}{2}\left ( (a+b)+(a+c)+(b+c) \right )\left ( \frac{1}{b+c} +\frac{1}{a+c}+\frac{1}{a+b} \right )-3$

$\fn_jvn =\frac{1}{2}\left ( x+y+z \right )\left ( \frac{1}{z} +\frac{1}{y}+\frac{1}{x} \right ) - 3$

$\fn_jvn =\frac{1}{2}\left (\frac{x}{z}+\frac{x}{y}+1+\frac{y}{z}+1+\frac{y}{x}+1+\frac{z}{y}+\frac{z}{x} \right)-3$

$\fn_jvn =\frac{1}{2}\left (\frac{x}{y}+\frac{y}{x}+\frac{x}{z}+\frac{z}{x}+\frac{y}{z}+\frac{z}{y} \right)-\frac{3}{2}$

$\fn_jvn \geq \frac{1}{2}\left (2+2+2 \right)-\frac{3}{2}=\frac{3}{2}$

Contoh 8 :

Jika a, b, c, dan d bilangan real tidak negatif, buktikan bahwa

a. $\fn_jvn \frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}$

b. $\fn_jvn \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

Jawab :

Pembuktian bagian a

$\fn_jvn a+b\geq 2\sqrt{ab}$ dan $\fn_jvn c+d\geq 2\sqrt{cd}$

maka

$\fn_jvn (a+b)(c+d)\geqslant 2\sqrt{ab}.2\sqrt{cd}$

$\fn_jvn (a+b)(c+d)\geqslant 4\sqrt{abcd}$ …………………………………(1)

Sekarang kita pilih P = a + b dan Q = c + d maka

$\fn_jvn P+Q\geq 2\sqrt{PQ}$

$\fn_jvn a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{(a+b)(c+d)}$ ……………………(2)

Dengan mensubstitusikan pertidaksamaan (1) ke pertidaksamaan (2) maka

$\fn_jvn a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{(a+b)(c+d)}\geqslant 2\sqrt{4\sqrt{abcd}}$

$\fn_jvn a+b+c+d\geqslant 2\sqrt{4\sqrt{abcd}}$

$\fn_jvn a+b+c+d\geqslant 4\sqrt[4]{abcd}$

Jadi :

$\fn_jvn \frac{a+b+c+d}{4}\geq \sqrt[4]{abcd}$ …………………………………….(3)

(terbukti)

Pembuktian bagian b :

misalkan rata-rata aritmetika dari a, b, dan c adalah A dan rata-rata geometrinya adalah G maka

$\fn_jvn A=\frac{a+b+c}{3}$ dan $\fn_jvn G=\sqrt[3]{abc}$

Sekarang kita pilih d = A dan kita substitusikan ke pertidaksamaan (3) sehingga

$\fn_jvn \frac{a+b+c+A}{4}\geq \sqrt[4]{abcA}$

$\fn_jvn \frac{3A+A}{4}\geq \sqrt[4]{G^{3}A}$

$\fn_jvn A\geq \sqrt[4]{G^{3}A}$

Jika kita pangkatkan 4 maka diperoleh

$\fn_jvn A^{4}\geq G^{3}A$

$\fn_jvn A^{3}\geq G^{3}$

$\fn_jvn A\geq G$

Jadi

$\fn_jvn \frac{a+b+c}{3}\geq \sqrt[3]{abc}$

(terbukti)

Posted by omson in Pertidaksamaan

Pembuktian Aljabar

September 20, 2012

Buktikan bahwa

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3(a + b+ c)(ab + ac + bc) – 3abc

Jawab :

(a + b+ c)(ab + ac + bc) = a²b + a²c + abc + ab² + abc + b²c + abc + ac² + bc²

(a + b+ c)(ab + ac + bc) = a²b + ab²+ a²c + ac²+ b²c + bc² + 3abc

a²b + ab²+ a²c + ac²+ b²c + bc²= (a + b+ c)(ab + ac + bc) – 3abc …………………..(1)

(a + b+ c)³ = a³ + 3a²(b + c) + 3a(b + c)² + (b + c)³

(a + b+ c)³ = a³ +3a²b + 3a²c + 3a(b² + 2bc + c²) + b³ + 3b²c + 3bc² + c³

(a + b+ c)³ = a³ +3a²b + 3a²c + 3ab² + 6abc + 3ac² + b³ + 3b²c + 3bc² + c³

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3a²b + 3ab² +3a²c + 3ac² + 3b²c + 3bc² + 6abc

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3(a²b + ab² +a²c + ac² + b²c + bc²) + 6abc

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) maka diperoleh

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3((a + b+ c)(ab + ac + bc) – 3abc) + 6abc

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3(a + b+ c)(ab + ac + bc) – 9abc + 6abc

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ +3(a + b+ c)(ab + ac + bc) – 3abc

(terbukti)

Posted by omson in Pembahasan Soal

Soal Aljabar

September 19, 2012

Diketahui

a + b + c = x

a² + b² + c² = y

a³ + b³ + c³ = z

Tentukan nilai dari a⁴ + b⁴ + c⁴

Jawab :

(a+b+c)² = a² + b² + c² + 2(ab + ac +bc)

x² = y + 2(ab + ac +bc)

2(ab + ac +bc) = x² – y

$ab+ac+bc=\frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y$ …………………………………………(1)

(a + b+ c)³ = a³ + b³ + c³ + 3(a + b+ c)(ab + ac + bc) – 3abc ……….(2)

(untuk mengetahui pembuktian persamaan (2) , silakan klik di sini)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) ke persamaan (2) maka diperoleh

$x^{3}=z+3x\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y \right )-3abc$

$x^{3}=z+\frac{3}{2}x^{3}-\frac{3}{2}xy-3abc$

$3abc=\frac{1}{2}x^{3}-\frac{3}{2}xy + z$

$abc=\frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{3}z$ ……………………………………………………..(3)

Sekarang, mari kita olah bentuk berikut :

a²b² + a²c² + b²c² = (ab)² + (ac)² + (bc)²

a²b² + a²c² + b²c² = (ab + ac + bc)² – 2(a²bc + ab²c + abc²)

a²b² + a²c² + b²c² = (ab + ac + bc)² – 2abc(a + b + c)

Dengan mensubstitusikan persamaan (1) dan (3) maka diperoleh

$a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}=\left ( \frac{1}{2}x^{2}-\frac{1}{2}y \right )^{2}-2\left ( \frac{1}{6}x^{3}-\frac{1}{2}xy+\frac{1}{3}z \right )x$

$a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}=\frac{1}{4}x^{4}-\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{4}y^{2}-\frac{1}{3}x^{4}+x^{2}y-\frac{2}{3}xz$

$a^{2}b^{2}+a^{2}c^{2}+b^{2}c^{2}=-\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{4}y^{2}-\frac{2}{3}xz$ …………………………….(4)

Sesuai dengan yang ditanyakan, kita akan menguraikan bentuk a⁴ + b⁴ + c⁴

a⁴ + b⁴ + c⁴ = (a² + b² + c²)² – 2(a²b² + a²c² + b²c²)

Dengan mensubstitusikan persamaan (4) maka diperoleh

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=y^{2}-2\left ( -\frac{1}{12}x^{4}+\frac{1}{2}x^{2}y+\frac{1}{4}y^{2}-\frac{2}{3}xz \right )$

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=y^{2}+\frac{1}{6}x^{4}-x^{2}y-\frac{1}{2}y^{2}+\frac{4}{3}xz$

$a^{4}+b^{4}+c^{4}=\frac{1}{6}x^{4}-x^{2}y+\frac{1}{2}y^{2}+\frac{4}{3}xz$

Posted by omson in Pembahasan Soal

Soal Barisan

September 18, 2012

Tentukan rumus suku ke n dari barisan 1, 2, 6, 10, 19, 28, 44, 60, 85, 110, 146, 182, ……..

Jawab :

Untuk memudahkan mari kita lihat selisih antara suku-sukunya :

Jika kita amati, maka selisih antara suku-sukunya adalah bialangan kuadra, jadi kesimpulannya bentuk ini merupakan barisan aritmetika bertingkat. Hanya saja di sini bilangan selisih yang ada selalu muncul 2 kali. Untuk itu itu barisan kita pecah menjadi 2 macam, yaitu berisan dengan suku-suku nomor ganjil dan suku-suku nomor genap

Jadi, kedua barisan bisa kita pecah sebagai berikut

1, 0, 6, 0, 19, 0, 44, 0, 85, 0, 146 … dengan suku ke n kita sebut An

dan

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 …. dengan suku ke n kita sebut Bn

Jadi Un pada barisan yang ditanyakan

Un = An + Bn

Jika barisan An kita ambil nomor-nomor ganjilnya maka bisa dinyatakan sbb:

Dengan adanya nilai a, b, c, dan d maka suku ke n bisa kita nyatakan sebagai berikut

Pn = a + (n -1)b + (n-1)(n-2)c/2 + (n-1)(n-2)(n-3).d/6

Pn = 1 + (n – 1).5 + (n-1)(n-2).4 + (n-1)(n-2)(n-3).4/6

Pn = 1 + 5n – 5 + 4(n² – 3n + 2) + (2/3)(n³ – 6n² + 11n – 6)

$P_{n}=5n - 4 + 4n^{2}-12n + 8 + \frac{2}{3}n^{3}-4n^{2}+\frac{22}{3}n-4$

$P_{n}=\frac{2}{3}n^{3}+\frac{1}{3}n=\frac{1}{3}n\left ( 2n^{2}+1 \right )$

Kita hanya memakai Pn di nomor-nomor ganjil saja, sehingga bentuk suku ke n harus kita ubah dengan menggunakan

x = 2n – 1 atau $n=\frac{x+1}{2}$

sehingga

$Q_{x}=P_{\frac{x+1}{2}}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x+1}{2} \right )\left ( 2\left ( \frac{x+1}{2} \right )^{2}+1 \right )$

$Q_{x}=\frac{1}{6}(x+1)\left ( \frac{x^{2}+2x+1}{2}+1 \right )=\frac{1}{12}\left ( x+1 \right )\left ( x^{2}+2x+3 \right )$

Akan tetapi, suku-suku Qx yang kita pakai hanyalah yang nomor ganjil, sedangkan nomor genap harus 0, sehingga barisan yang terbentuk adalah

1, 0, 6, 0, 19, 0, 44, 0, 85, 0, 146 …

Dengan demikian barisan ini bisa kita nyatakan menjadi

$A_{n}=Q_{n}\left (\frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )=\frac{1}{12}(n+1)(n^{2}+2n+3)\left ( \frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )$

Selanjutnya kita akan mengerjakan Bn. Bn memiliki suku-suku sbb:

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 ….

Jika suku-suku pada Bn kita ambil pada nomor genapnya, maka akan diperoleh sbb :

2, 10, 28, 60,110, 182 ….

Jika kita lihat nilai selisih-selisihnya maka akan diperoleh :

Jadi , suku ke n bisa dinyatakan sebagai berikut

Kn = a + (n -1)b + (n-1)(n-2)c/2 + (n-1)(n-2)(n-3).d/6

Kn = 2 + (n – 1)8 + (n-1)(n-2)5 + (n-1)(n-2)(n-3)(2/3)

Kn = 2 + 8n – 8 + 5(n² – 3n + 2) + (2/3)(n³ – 6n² + 11n – 6)

$K_{n}=8n-6+5n^{2}-15n+10+\frac{2}{3}n^{3}-4n^{2}+\frac{22}{3}n-4$

$K_{n}=\frac{2}{3}n^{3}+n^{2}+\frac{1}{3}n=\frac{1}{3}n(2n^{2}+3n+1)=\frac{1}{3}n(n+1)(2n+1)$

Kita hanya memakai Kn di nomor-nomor genap saja, sehingga bentuk suku ke n harus kita ubah dengan menggunakan

x = 2n sehingga n = x/2 sehingga

$L_{x}=K_{\frac{x}{2}}=\frac{1}{3}\left ( \frac{x}{2} \right )\left ( \frac{x}{2}+1 \right )(x+1)=\frac{1}{12}x(x+2)(x+1)$

Akan tetapi, suku-suku Lx yang kita pakai hanyalah yang nomor genap, sedangkan nomor ganjil harus 0, sehingga barisan yang terbentuk adalah

0, 2, 0, 10, 0, 28, 0, 60, 0, 110, 0, 182 ….

Dengan demikian barisan ini bisa kita nyatakan menjadi

$B_{n}=L_{n}\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )=\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )$

Mengingat Un = An + Bn maka suku ke n yang ditanyakan soal bisa dinyatakan dengan

$U_{n}=\frac{1}{12}(n+1)(n^{2}+2n+3)\left ( \frac{1-(-1)^{n}}{2} \right )+\frac{1}{12}n(n+1)(n+2)\left ( \frac{1+(-1)^{n}}{2} \right )$

Posted by omson in Pembahasan Soal

Soal OSK Tahun 2002 Tipe 2

April 17, 2012

SET 2

OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KOTA/KABUPATEN (tipe2)

TAHUN 2002/2003

Bagian Pertama

1. Misalkan A = 7/8,B = 66/77, C = 555/666, D = 4444/5555 dan E = 33333/44444. Yang manakah yang terbesar ?

(A) A

(B) B

(D) D

(E) E

2. Suatu amplop tertutup berisi sebuah kartu bertuliskan sebuah bilangan. Tiga diantara pernyataan berikut benar dan sisanya salah

I : Bilangan tersebut adalah 1

II : Bilangan tersebut adalah 2

III: Bilangan tersebut bukan 3

IV: Bilangan tersebut bukan 4

Yang manakah diantara pernyataaan berikut yang pasti benar?

(A) I salah

(B) II benar

(D) III salah

(E) IV benar

3. Pada akhir tahun 1994 Andi berusia setengah usia neneknya. Jumlah kedua tahun kelahiran mereka adalah 3844. Berapakah usia Andi pada tahun 2002?

(A) 48

(B) 52

(D) 58

(E) 104

4. Bentuk sederhana dari $\left ( \frac{x^{2}+1}{x} \right )\left ( \frac{y^{2}+1}{y} \right )+\left ( \frac{x^{2}-1}{y} \right )\left ( \frac{y^{2}-1}{x} \right )$ , xy ≠ 0

adalah

(A) 1

(B) 2xy

(D) $2xy+\frac{2}{xy}$

(E) $\frac{2x}{y}+\frac{2y}{x}$

5. Jika x – y > x dan x + y < y, maka

(A) y < x

(B) x < y

(D) x < 0 dan y < 0

(E) x < 0 dan y > 0

6. Untuk nilai a yang manakah garis lurus y = 6x memotong parabola y=x² + a tepat di satu titik ?

(A) 7

(B) 8

(D) 10

(E) 11

7. Pandang barisan 1,-2, 3,-4, 5,-6, …,dengan suku ke-n barisan tersebut adalah (-1)ⁿ⁺¹n. Berapakah rata-rata dari 200 suku pertama barisan tersebut?

(A) – 1

(B) – 0,5

(D) 0,5

(E) 1

8. Misalkan untuk setiap bilangan real a, b yang berbeda M (a, b) menyatakan bilangan terbesar diantara a dan b dan m(a, b) menyatakan bilangan yang terkecil diantara a dan b. Jika a < b < c < d < e maka nilai dari

M (M (m(c, d) , a) ,m(b,m(a, e)))

adalah?

(A) a

(B) b

(D) d

(E) e

9. Misalkan $p=10(9!)^{\frac{1}{2}}$ , $q=9(10!)^{\frac{1}{2}}$ dan $r=(11!)^{\frac{1}{2}}$ dengan n! = 1 . 2 . 3 … (n – 1)n. Pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini adalah’?

(A) p < q < r

(B) q < r < p

(D) q < p < r

(E) p < r < q

10. Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapang bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola?

(A) 2

(B) 3

(D) 5

(E) 6

2 BAGIAN KEDUA

11. Pada suatu segitiga ABC, sudut C tiga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC ?

12. Wati, Iwan dan Budi memulai perjalanan sejauh 100 km. Wati dan Iwan pergi dengan menggunakan sepeda motor dengan kecepatan rata-rata 25 km/jam sedangkan Budi berjalan dengan kecepatan rata-rata 5 km/jam. Setelah jarak tertentu, Iwan turun dari sepeda motor dan mulai berjalan dengan kecepatan 5 km/jam, sedangkan Wati kembali lagi untuk menjemput Budi dan mengantarkannya ketempat tujuan tepat bersamaan dengan datangnya Iwan di tempat tersebut. Berapa jamkah lamanya perjalanan tersebut?

13. Misalkan $t_{n}=\frac{n(n+1)}{2}$ , Tentukan jumlah dari $\frac{1}{t_{1}}+\frac{1}{t_{2}}+.....+\frac{1}{t_{2002}}$

14. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2²⁰⁰² .5²⁰⁰³?

15. Garis AB dan CD sejajar dan berjarak 4 satuan. Misalkan AD memotong BC di titik P diantara kedua garis. Jika AB = 4 dan CD = 12, berapa jauh P dari garis CD?

16. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap subhimpunan dari {1, 2, 3, …, 20} yang beranggotakan n unsur pasti mengandung dua angota yang selisihnya adalah 8.

17. Bilangan segitiga adalah bilangan yang berbentuk ½n(n+1), dengan n bilangan bulat positif. Berapa banyak bilangan diantara 100 bilangan segitiga yang pertama yang berakhiran 0?

18. Bilangan bulat positif p ≥ 2 disebut bilangan prima jika ia hanya mempunyai faktor 1 dan p. Tentukan nilai penjumlahan semua bilangan prima diantara 1 dan 100 yang sekaligus bersifat: satu lebihnya dari suatu bilangan kelipatan 5 dan satu kurangnya dari suatu bilangan kelipatan 6.

19. Dua titik terbawah suatu bujursangkar (persegi) terletak pada sumbu-x dan dua titik teratasnya terletak pada parabola y = 15 – x². Berapa luas bujursangkar tersebut?

20. Misalkan $\frac{a}{10^{x}-1}+\frac{b}{10^{x}+2}=\frac{2.10^{x}+3}{(10^{x}-1)(10^{x}+2)}$ . Berapakah nilai a – b ?

Posted by omson in OSK

Soal OSK Tahun 2002

April 16, 2012

OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KOTA/KABUPATEN (tipe1)

7 APRIL 2002

BAGIAN PERTAMA

1. Yang manakah di antara bilangan ini yang paling besar

(A) 2⁸¹

(B) 4³²

(D) 16¹⁸

(E) (8³)²

2. Misalkan terdapat beberapa trang beberapa tring dan beberapa trung. Misalkan pula semua trang adalah tring dan beberapa trung adalah trang. Berdasarkan informasi tersebut, yang mana saja dari pernyataan X Y, Z yang pasti benar?

X : Semua trang adalah trung

Y : Beberapa trang bukan trung

Z : Beberapa trung adalah tring

(A) X saja

(B) Y saja

(D) X dan Y saja

(E) Y dan Z saja

3. Suatu bilangan bulat p ≥ 2 merupakan bilangan prima jika faktornya hanyalah p dan 1. Misalkan M menyatakan perkalian 100 bilangan prima yang pertama. Berapa banyakkah angka 0 di akhir bilangan M?

(A) 0

(B) 1

(D) 3

(E) 4

4. Matematikawan August DeMorgan menghabiskan seluruh usianya pada tahun 1800-an. Pada tahun terakhir dalam masa hidupnya dia mengatakan bahwa: “Dulu aku berusia x tahun pada tahun x²” Pada tahun berapakah ia dilahirkan?

(A) 1806

(B) 1822

(D) 1851

(E) 1853

5. Di antara tujuh buah titik (9, 17), (6, 11), (3,5) , (7, 12), (3½, 6), (5, 10), dan (5, 9) lima di antaranya terletak pada suatu garis lurus. Dua titik yang manakah yang TIDAK terletak pada garis tersebut?

(A) (5,10) dan (7,12)

(B) (3,5) dan (5,9)

(D) (6,11) dan (3,5)

(E) (3½, 6) dan (5,9)

6. Lima ekor kambing memakan rumput seluas 5 kali ukuran lapangan bola dalam 5 hari. Berapa hari yang diperlukan oleh 3 ekor kambing untuk menghabiskan rumput seluas 3 kali lapangan bola?

(A) 2

(B) 3

(D) 5

(E) 6

7. Budi berlari tiga kali lebih cepat dari kecepatan Iwan berjalan kaki. Misalkan Iwan, yang lebih cerdas dari Budi menyelesaikan ujian pada pukul 2:00 dan mulai berjalan pulang. Budi menyelesaikan ujian pada pukul 2:12 dan berlari mengejar Iwan. Pada pukul berapakah Budi tepat akan menyusul Iwan?

(A) 2 : 15

(B) 2 : 16

(D) 2 : 18

(E) 2 : 19

8. Jika a^-1 menyatakan bilangan 1/a untuk setiap bilangan real a tak nol dan jika x,y dan tidak sama dengan nol, maka $\left ( 2x+\frac{y}{2} \right )^{-1}\left [ (2x)^{-1}+\left ( \frac{y}{2} \right )^{-1} \right ]$ sama dengan …

(A) 1

(B) xy^-1

(D) (xy)^-1

(E) Tidak satupun di antaranya

9. Misalkan $p=10(9!)^{\frac{1}{2}}$ , $q=9(10!)^{\frac{1}{2}}$ dan $r=(11!)^{\frac{1}{2}}$ dengan n! = 1 . 2 . 3 … (n – 1)n. Pengurutan yang benar dari ketiga bilangan ini adalah’?

(A) p < q < r

(B) q < r < p

(D) q < p < r

(E) p < r < q

10. Diberikan: x > 0, y > 0, x > y dan z ≠ 0. Ketidaksamaan yang TIDAK selalu benar adalah

(A) x + z > y + z

(B) x – z > y – z

(D) $\frac{x}{z^{2}}\neq \frac{y}{z^{2}}$

(E) xz² > yz²

BAGIAN KEDUA

11. Misalkan a dan b bilangan real yang berbeda sehingga :

$\frac{a}{b}+\frac{a+10b}{b+10a}=2$

Tentukan nilai $\frac{a}{b}$

12. Berapa banyak pasangan bilangan bulat positif yang memenuhi bentuk x⁸ + y⁸ kurang dari 10.000?

13. Dalam suatu segitiga ABC diketahui $\angle A=55^{o}, \angle C=75^{o}$ , D terletak pada sisi dan E pada sisi . Jika , maka $\angle BED = ...$

14. Berapakah jumlah digit-digit bilangan 2¹⁹⁹⁹.5²⁰⁰⁰ ?

15. Wati menuliskan suatu bilangan yang terdiri dari 6 angka (6 digit) di papan tulis, tetapi kemudian Iwan menghapus 2 buah angka 1 yang terdapat pada bilangan tersebut sehingga bilangan yang terbaca menjadi 2002. Berapa banyak bilangan dengan enam digit yang dapat Wati tuliskan agar hal seperti di atas dapat terjadi?

16. Pada suatu segitiga ABC sudut C tiga kali besar sudut A dan sudut B dua kali besar sudut A. Berapakah perbandingan (rasio) antara panjang AB dengan BC?

17. Bando dan Bandi ingin mengecat pagar. Bando dapat menyelesaikan pengecatan pagar oleh dirinya sendiri dalam waktu 3 jam, sedangkan Bandi dapat menyelesaikannya dalam 4 jam. Pada pukul 12:00 siang mereka mulai mengecat pagar bersama-sama. Akan tetapi pada suatu ketika mereka bertengkar. Mereka bertengkar selama 10 menit dan dalam masa itu tidak satupun yang melakukan pengecatan. Setelah pertengkaran tersebut Bandi pergi dan Bando menyelesaikan pengecatan pagar sendirian. Jika Bando menyelesaikan pengecatan pada pukul 14:25, pada pukul berapakah pertengkaran dimulai?

18. Misalkan $a=\frac{1^{2}}{1}+\frac{2^{2}}{3}+\frac{3^{2}}{5}+.....+\frac{1001^{2}}{2001}$ dan $b=\frac{1^{2}}{3}+\frac{2^{2}}{5}+\frac{3^{2}}{7}+.....+\frac{1001^{2}}{2003}$ . Tentukan bilangan bulat yang nilainya paling dekat ke a – b .

19. Tentukan bilangan n terkecil sehingga setiap subhimpunan dari {1, 2, 3, .. , 20} yang beranggotakan n unsur pasti mengandung dua anggota yang selisihnya adalah 8.

20. Suatu persegi panjang berukuran 8 kali $2\sqrt{2}$ mempunyai titik pusat yang sama dengan suatu lingkaran berjari-jari 2. Berapakah luas daerah irisan antara persegi panjang dan lingkaran tersebut?

Posted by omson in OSK

Cara pertama

Cara kedua

SET 2

OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KOTA/KABUPATEN (tipe2)

TAHUN 2002/2003

Bagian Pertama

2 BAGIAN KEDUA

OLIMPIADE MATEMATIKA

TINGKAT KOTA/KABUPATEN (tipe1)

7 APRIL 2002

BAGIAN PERTAMA

BAGIAN KEDUA

Pengunjung