OSK Matematika SMP 2017

PILIHAN GANDA   1. Misalkan n adalah bilangan bulat positif. Jumlah 3 bilangan prima, 3n – 4, 4n – 5, dan 5n – 3 adalah a. 12    b. 14    c. 15    d. 17   2. Diketahui a dan b adalah dua bilangan positif, serta b merupakan bilangan ganjil yang lebih kecil daripada 2017. Jika , maka pasangan bilangan (a, b) yang mungkin ada sebanyak … a. 2     b. 3     c. 5     d. 8   3. Grafik mengilustrasikan lomba lari 100 m yang diikuti oleh 3 orang siswa A, B, dan C. Berdasarkan grafik tersebut, pernyataan yang benar adalah … a. Pelari C selalu berlari paling depan b. Pelari B disusul oleh C sebelum garis finis c.Pelari A paling cepat berlari sampai ke garis finis d. Pelari B memenangi lomba karena berlari dengan kecepatan...

read more

Trigonometri Sudut Kelipatan Pi Per 7

Dalam soal yang berkaitan dengan trigonometri, seringkali kita menemui soal dengan sudut  atau kelipatannya, yaitu , , , …..Sudut ini jika dinyatakan pakai derajat juga masih dalam bentuk pecahan, yaitu , ,  dan seterusnya.   Contoh soal 1 : Jawab : Agar lebih mudah, hasilnya kita misalkan x Jika kedua ruas dikali dengan  maka Dengan mengingat sin 2A = 2 sin A cos A maka sin A cos A = ½ sin 2A Mengingat Maka persamaan sabaiknya diubah menjadi Jadi   Contoh Soal 2 : Jawab : Misalkan Jika dikuadratkan maka Dengan menggunakan rumus sin2 A = ½ – ½ cos 2A maka Jika kita kalikan akan diperoleh Untuk memudahkan kita hitung dulu bentuk . Berdasarkan contoh soal 1 hasilnya adalah 1/8.   Jadi : Jadi   Contoh...

read more

Bilangan Kuadrat Tidak Negatif

Hasil pengkuadratan bilangan real, tentunya tidak pernah negatif. Paling kecil akan bernilai nol, dan paling besar bisa mendekati tak terhingga. Begitu juga dengan harga mutlak, dan hasil penarikan akar, nilainya tidak akan pernah negatif. Berikut ini akan saya sajikan soal yang berkaitan dengan harga mutlak, hasil penarikan akar dan bilangan kuadrat.   Contoh Soal 1 : Tentukan nilai p yang memenuhi persamaan |2x + 3y – 13 | + |3x – y – 14 | + | x + 7y – p | = 0 Jawab : Jika |a| = 0 maka a = 0 Jika |a| + |b| = 0 maka a = 0 dan b = 0 Jika |a| + |b| + |c| = 0 maka a = 0, b = 0 dan c = 0   Artinya jika kita memiliki persamaan |2x + 3y – 13 | + |3x – y – 14 | + | x + 7y – p | = 0 maka 2x + 3y – 13 = 0...

read more

Menghitung Deret Tanpa Menjumlah

Dalam soal deret, seringkali kita disuguhkan pada sebuah deret yang kita tidak tahu bagaimana cara menjumlahnya. Akan tetapi kita disuruh untuk membandingkan jumlah dua buah deret. Nah berikut ini akan saya sajikan jumlah deret tak hingga.   Contoh Soal  1  : Tentukan hasil dari Jawab : Deret pada pembilang, jika dijumlahkan hasilnya adalah tak hingga (deret tidak konvergen) begitu juga untuk penyebut. Akan tetapi kita bisa mengetahui jumlahnya dengan memakai trik berikut Misalkan Maka pembilang bisa kita ubah menjadi Sedangkan penyebut bisa kita ubah menjadi     Contoh Soal 2 : Tentukan nilai dari Jawab : Soal ini mirip contoh 1 : Kita misalkan Maka pembilang bisa ditulis menjadi Sementara penyebut bisa ditulis menjadi...

read more

Aturan Cosinus

Diketahui segitiga ABC sebagai berikut : Pada segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C   Contoh soal 1 Pada segitiga ABC nilai maksimum dari cos A. cos B. cos C sama dengan ….. Jawab : Aturan Cosinus : b2 = a2 + c2 – 2ac cos B a2 + c2 – b2 = 2ac cos B ………………(1) Aturan Cosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 – b2 – c2 = – 2bc cos A ……………..(2)   Setiap bilangan kuadrat ≥ 0 (a2 – b2)2  ≥0 Jika kedua ruas dikurangi dengan c4 maka (a2 – b2)2 – c4  ≥ – c4 Jika difaktorkan maka (a2 – b2 + c2)(a2 – b2 – c2 ) ≥ – c4  Dengan mensubtititusikan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh (2ac cos B)(– 2bc cos A) ≥ – c4  – 4abc2 cos A cos...

read more

Soal Matematika Bilangan Berpangkat

Tentukan nilai dari Jawab : Jika kita menghitung 1+2+4+…..+ 22014+22015 Maka bisa kita hitung dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri Banyaknya suku adalah n = 2016 Suku pertama : a = U1 = 1 Rasio r = u2/u1 = 2 Soal bisa kita tulis menjadi...

read more

OSP Matematika SMA 2016

BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT 1. Misalkan a, b, c tiga bilangan asli yang memenuhi 2a + 2b + 2c = 100. Nilai dari a + b + c adalah …. 2. Suatu fungsi f mempunyai sifat f(65x + 1) = x² – x + 1 untuk semua bilangan real x. Nilai f(2016) adalah …. 3. Tiga bilangan berbeda a, b, c akan dipilih satu persatu secara acak dari 1, 2, 3, 4, …, 10 dengan memperhatikan urutan. Probabilitas bahwa ab + c genap adalah …. 4. Titik P adalah suatu titik pada segiempat konveks ABCD dengan PA = 2, PB = 3, PC = 5, dan PD = 6. Luas maksimum segiempat ABCD adalah … 5. Jika 0 < x < π/2 dan 4 tan x + 9 cot x ≤ 12, maka nilai sin x yang mungkin adalah …. 6. Untuk setiap bilangan asli n, misalkan S(n) menyatakan hasil jumlah digit-digit n...

read more

OSK Matematika SMP 2016

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016 BIDANG MATEMATIKA     BAGIAN A: PILIHAN GANDA 1. Nilai dari adalah … . A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015     2. Misalkan  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika maka  A. 35 B. 36 C. 37 D. 38   3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . … . 2 .1, maka 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + …+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = … A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1 )! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n   4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah … cm2 A. 74,00     B. 72,25     C....

read more

Rumus Brahmagupta

Rumus Brahmagupta dipakai untuk menentukan luas segiempat tali busur. Rumus ini merupakan perluasan dari rumus Heron yang dipakai mencari luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Jika segi empat tali busur memiliki panjang sisi a, b, c, dan d maka berlaku dan luas segiempat adalah Untuk membuktikan rumus ini, pertama-tama kita lihat gambar berikut   Q + S = 180o S= 180o – Q cos S = cos(180o – Q) = – cos Q sin S = sin (180o – Q) = sin Q   PR2 = a2 + b2 – 2ab cos Q PR2 = c2 + d2 – 2cd cos S PR2 = c2 + d2 + 2cd cos Q Jadi a2 + b2 – 2ab cos Q = c2 + d2 + 2cd cos Q a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2ab cos Q + 2cd cos Q a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2(ab + cd) cos Q LPQR = ½...

read more

Dalil Menelaus

Misalkan terdapat segitiga sembarang ABC. Titik D dan E masing-masing terletak pada segmen AC dan BC. Perpanjangan AB dan DE berpotongan di F. Maka berlaku dalil menelaus sebagai berikut   Untuk membuktikan dalil ini kita tarik 3 garis dari A, F, dan D ke garis BC, sehingga setiap garis tegak lurus dengan BC Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠ABH=∠FBG       (bertolak belakang) ∠AHB = ∠FGB = 90o akibatnya ∠BAH = ∠BFG Jadi, ΔABH sebangun dengan ΔFBG Dengan demikian  ……………………………………………(1) Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠FEG=∠DEI       (bertolak belakang) ∠FGE = ∠DIE = 90o akibatnya ∠GFE...

read more