Aturan Cosinus

Diketahui segitiga ABC sebagai berikut : Pada segitiga ABC berlaku a2 = b2 + c2 – 2bc cos A b2 = a2 + c2 – 2ac cos B c2 = a2 + b2 – 2ab cos C   Contoh soal 1 Pada segitiga ABC nilai maksimum dari cos A. cos B. cos C sama dengan ….. Jawab : Aturan Cosinus : b2 = a2 + c2 – 2ac cos B a2 + c2 – b2 = 2ac cos B ………………(1) Aturan Cosinus : a2 = b2 + c2 – 2bc cos A a2 – b2 – c2 = – 2bc cos A ……………..(2)   Setiap bilangan kuadrat ≥ 0 (a2 – b2)2  ≥0 Jika kedua ruas dikurangi dengan c4 maka (a2 – b2)2 – c4  ≥ – c4 Jika difaktorkan maka (a2 – b2 + c2)(a2 – b2 – c2 ) ≥ – c4  Dengan mensubtititusikan persamaan (1) dan (2) maka diperoleh (2ac cos B)(– 2bc cos A) ≥ – c4  – 4abc2 cos A cos...

read more

Soal Matematika Bilangan Berpangkat

Tentukan nilai dari Jawab : Jika kita menghitung 1+2+4+…..+ 22014+22015 Maka bisa kita hitung dengan menggunakan rumus jumlah deret geometri Banyaknya suku adalah n = 2016 Suku pertama : a = U1 = 1 Rasio r = u2/u1 = 2 Soal bisa kita tulis menjadi...

read more

OSP Matematika SMA 2016

BAGIAN PERTAMA : ISIAN SINGKAT 1. Misalkan a, b, c tiga bilangan asli yang memenuhi 2a + 2b + 2c = 100. Nilai dari a + b + c adalah …. 2. Suatu fungsi f mempunyai sifat f(65x + 1) = x² – x + 1 untuk semua bilangan real x. Nilai f(2016) adalah …. 3. Tiga bilangan berbeda a, b, c akan dipilih satu persatu secara acak dari 1, 2, 3, 4, …, 10 dengan memperhatikan urutan. Probabilitas bahwa ab + c genap adalah …. 4. Titik P adalah suatu titik pada segiempat konveks ABCD dengan PA = 2, PB = 3, PC = 5, dan PD = 6. Luas maksimum segiempat ABCD adalah … 5. Jika 0 < x < π/2 dan 4 tan x + 9 cot x ≤ 12, maka nilai sin x yang mungkin adalah …. 6. Untuk setiap bilangan asli n, misalkan S(n) menyatakan hasil jumlah digit-digit n...

read more

OSK Matematika SMP 2016

OLIMPIADE SAINS NASIONAL SMP SELEKSI TINGKAT KOTA/KABUPATEN TAHUN 2016 BIDANG MATEMATIKA     BAGIAN A: PILIHAN GANDA 1. Nilai dari adalah … . A. 2012 B. 2013 C. 2014 D. 2015     2. Misalkan  menyatakan bilangan bulat terkecil yang lebih besar daripada atau sama dengan x. Jika maka  A. 35 B. 36 C. 37 D. 38   3. Jika n! = n . (n – 1).(n – 2) . … . 2 .1, maka 1 . 1! + 2 . 2! + 3 . 3! + …+ (n – 1) . (n -1)! + n . n! = … A. (n – 1)! + 1 B. (n + 1 )! – 1 C. (n + 1)! + 1 D. n! + n   4. Diketahui ABCD dan CEGH adalah dua persegipanjang kongruen dengan panjang 17 cm, dan lebar 8 cm. Titik F adalah titik potong sisi AD dan EG. Luas segiempat EFDC adalah … cm2 A. 74,00     B. 72,25     C....

read more

Rumus Brahmagupta

Rumus Brahmagupta dipakai untuk menentukan luas segiempat tali busur. Rumus ini merupakan perluasan dari rumus Heron yang dipakai mencari luas segitiga jika diketahui ketiga sisinya. Jika segi empat tali busur memiliki panjang sisi a, b, c, dan d maka berlaku dan luas segiempat adalah Untuk membuktikan rumus ini, pertama-tama kita lihat gambar berikut   Q + S = 180o S= 180o – Q cos S = cos(180o – Q) = – cos Q sin S = sin (180o – Q) = sin Q   PR2 = a2 + b2 – 2ab cos Q PR2 = c2 + d2 – 2cd cos S PR2 = c2 + d2 + 2cd cos Q Jadi a2 + b2 – 2ab cos Q = c2 + d2 + 2cd cos Q a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2ab cos Q + 2cd cos Q a2 + b2 –  c2 –  d2 = 2(ab + cd) cos Q LPQR = ½...

read more

Dalil Menelaus

Misalkan terdapat segitiga sembarang ABC. Titik D dan E masing-masing terletak pada segmen AC dan BC. Perpanjangan AB dan DE berpotongan di F. Maka berlaku dalil menelaus sebagai berikut   Untuk membuktikan dalil ini kita tarik 3 garis dari A, F, dan D ke garis BC, sehingga setiap garis tegak lurus dengan BC Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠ABH=∠FBG       (bertolak belakang) ∠AHB = ∠FGB = 90o akibatnya ∠BAH = ∠BFG Jadi, ΔABH sebangun dengan ΔFBG Dengan demikian  ……………………………………………(1) Perhatikan segitiga ABH dan segitiga FBG ∠FEG=∠DEI       (bertolak belakang) ∠FGE = ∠DIE = 90o akibatnya ∠GFE...

read more

OSK Matematika SMA 2016

. OSK Matematika SMA 2016   Jika a, b, c, d, e merupakan bilangan asli dengan a < 2b, b < 3c, c < 4d, d < 5e dan e < 100 maka nilai maksimum dari a adalah … Rudi membuat bilangan asli 2 digit. Probabilitas bahwa kedua digit bilangannyan tersebut merupakan bilangan prima dan bilangan tersebut bersisa 3 jika dibagi 7 adalah … Pada segitiga ABC, titik M terletak pada BC sehingga AB = 7, AM = 3, BM = 5, dan MC = 6. Panjang sisi AC adalah … Diberikan a dan b bilangan real dengan . Nilai maksimum a – 5b adalah … Pada segitiga ABC, titik-titik X, Y, dan Z berturut-turut terletak pada sinar BA, CB, dan AC sehingga BX = 2BA, CY = 2CB, dan AZ = 2AC. Jika luas segitiga ABC adalah 1, maka luas segitiga XYZ adalah...

read more

OSK Matematika SMA 2013

. Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2013 Waktu: 120 menit   Petunjuk: Untuk masing-masing soal, tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di lembar jawab yang disediakan. 1.  Misalkan a dan b bilangan asli dengan a > b. Jika , maka nilai a – b adalah … 2. Diberikan segitiga ABC dengan luas 10. Titik D, E, dan F berturut-turut terletak pada sisi-sisi AB, BC, dan CA dengan AD = 2, DB = 3. Jika segitiga ABE dan segiempat DBEF mempunyai luas yang sama, maka luasnya sama dengan … 3. Misalkan p dan q bilangan prima. Jika diketahui persamaan x2014 – px2013 + q = 0   mempunyai akar-akar bilangan bulat, maka nilai p + q adalah … 4. Jika fungsi f didefinisikan oleh  , x ≠– 3/2 , k...

read more

OSK Matematika SMA 2012 versi 3

. Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2012  Waktu Pengerjaan 2 Jam Tuliskan jawaban akhir saja Soal : 1. Banyaknya bilangan bulat n sehingga  merupakan bilangan bulat adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ 2. Ada berapa cara menyusun semua huruf DUARIBUDUABELAS dengan syarat huruf I dan E berdekatan ? 3. Dalam suatu pertemuan, setiap pria berjabat tangan dengan setiap orang, kecuali dengan isterinya; dan tidak ada (tidak dilakukan) jabat tangan di antara sesama wanita. Jika yang menghadiri pertemuan tersebut ada sebanyak 13 pasang suami-isteri, ada berapa banyak jabat tangan yang dilakukan oleh 26 orang tersebut ? 4. Banyaknya pasangan solusi bilangan bulat positif yang memenuhi   adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ 5. Diketahui a2+ b2=...

read more

OSK Matematika SMA 2012 versi 2

. Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten Tahun 2012  Waktu Pengerjaan 2 Jam Tuliskan jawaban akhir saja   Soal :   1. Diberikan segi-100 beraturan dengan panjang sisi 1 satuan. Jika S menyatakan himpunan semua nilai yang mungkin dari panjang diagonal-diagonal segi-100 tersebut maka banyaknya anggota S adalah ⋅⋅⋅⋅⋅ 2. Pasangan bilangan asli (a, b) yang memenuhi 4a(a + 1) = b(b + 3) sebanyak ⋅⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 3. Misalkan S adalah himpunan semua faktor positif dari 1.000.000. Sebuah bilangan diambil secara acak dari S. Peluang bilangan yang terambil merupakan pangkat 3 dari suatu bilangan asli adalah ⋅⋅⋅⋅⋅⋅ 4. Banyaknya pasangan bilangan bulat asli berbeda yang selisih kuadratnya 2012...

read more