Mencari Tangen 15 Derajat

Sudut 15o bisa dikategorikan sudut istimewa juga. hal ini disebabkan kita mudah mencari nilai sinus, cosinus, dan tangennya.

Nah melalui tulisan ini akan saya coba membahas cara mencari nilai tangen 15o

Cara I :

tan 15o = tan (60o – 45o)

 

Cara II :

tan 15o = tan (45o – 45o)

Jika pembilang dan penyebut keduanya dikali dengan 3 maka diperoleh

 

Cara III

Membuat segitiga sama sisi di dalam persegi

Persegi ABCD memiliki sisi yang panjangnya 1. Titik E dan F pada BC dan CD sehingga sudut BAE = sudut FAD = 15o

tangen 15 dan segitiga sama sisiDengan memakai pythagoras maka diperoleh

AE2 = AB2 + BE2 = 1 + x2

Karena AEF sama sisi maka

Dengan memakai pythagoras pada segitiga CEF maka

EF2 = EC2 + CF2
1 + x2 = (1 – x)2 + (1 – x)2
1 + x2 = 1 – 2x + x2 + 1 – 2x + x2
x2 - 4x + 1 = 0

Selanjutnya untuk mencari x kita gunakan rumus ABC

Karena panjang BC 1 maka nilai x yang mungkin adalah

dengan melihat segitiga BAE

 

Cara IV

Menggunakan sudut pusat dan sudut keliling pada lingkaran

tangen 15 dan sudut kelilingPerhatikan bahwa AOB adalah sudut pusat sebesar 30o
ACB adalah sudut keliling sehinggasudut ACB = 15o
Karena sin 30o = 1/2 maka kita buat BD = 1 dan OB = 2.
Dengan pythagoras diperoleh
OC adalah jari-jari lingkaran sehingga OC = OB = 2
maka

 

Read More

OSK Matematika SMA 2014

Olimpiade Sains Nasional Bidang Matematika SMA/MA
Seleksi Tingkat Kota/Kabupaten
Tahun 2014
Waktu: 120 menit

Petunjuk: Untuk masing -masing soal, tulis jawab akhirnya saja (tanpa penjabaran) di lembar
jawab yang disediakan.

 

1.Garis berat AD pada segitiga ABC memotong garis berat CF di P serta perpanjangan BP memotong ABC di E. Jika diketahui segitiga ABC lancip dan AB = 6, maka panjang DE adalah ….

Pembahasan nomor 1

2.Diberikan tiga bilangan bulat positif berurutan. Jika bilangan pertama tetap, bilangan kedua ditambah 10 dan bilangan ketiga ditambah bilangan prima, maka ketiga bilangan ini membentuk deret ukur. Bilangan ketiga dari bilangan bulat berurutan adalah ….

Pembahasan nomor 2

3.Misalkan a, b adalah bilangan riil sedemikian sehingga

Nilai dari

adalah …

Pembahasan nomor 3

 

4.Nilai dari

adalah ….

Pembahasan nomor 4

 

5.Untuk 0 < x < π, nilai minimum dari

adalah ….

Pembahasan nomor 5

 

6.Misalkan S adalah himpunan bilangan asli yang digitnya tidak berulang dan dipilih dari 1, 3, 5, 7. Jumlah digit satuan dari semua anggota S adalah ….

Pembahasan nomor 6

 

7.Misalkan x, y, z > 1    dan w > 0. Jika logx w = 4, logy w = 5, dan logxyz w = 2, maka nilai logz w adalah ….

Pembahasan nomor 7

 

8.Terdapat tiga meja bundar yang identik. Setiap meja harus dapat ditempuh minimal satu siswa. Banyaknya cara mendudukkan enam siswa pada meja-meja tersebut adalah ….

Pembahasan nomor 8

 

9.Diberikan persegi ABCD dengan panjang sisi 1 satuan. Titik E dan F berturut-turut berada pada sisi BC dan CD sehingga AEF samasisi. Dibuat pula persegi yang melewati B yang sisi – sisinya sejajar dengan ABCD dengan salah satu titik sudutnya berada pada ruas garis AE, namun bukan A bukan pula E. Jika panjang sisi persegi yang lebih kecil adalah    dengan a, b, c bilangan bulat positif dan b tidak habis dibagi suatu bilangan kuadat sempurna lebih dari 1 , maka nilai a + b + c adalah ….

Pembahasan nomor 9

 

10.Suatu perusahaan permen memproduksi empat macam rasa permen. Permen dijual dalam bungkus, setiap bungkus berisi 10 permen dengan setiap rasa permen ada dalam bungkus. Banyaknya macam variasi isi bungkusan permen adalah ….

Pembahasan nomor 10

 

11.Bilangan-bilangan 1111, 5276, 8251, dan 9441 bersisa sama jika dibagi N . Nilai N terbesar yang memiliki sifat tersebut adalah ….

Pembahasan nomor 11

 

12.Ada sebanyak 6! permutasi dari huruf-huruf OSNMAT. Jika semua permutasi tersebut diurutkan secara abjad dari A ke Z, maka OSNMAT pada urutan ke ….

Pembahasan nomor 12

 

13.Segitiga ABC merupakan segitiga sama kaki dengan panjang AB = AC = 10 cm. Titik D terletak pada garis AB sejauh 7 cm dari A dan E titik pada garis AC yang terletak sejauh 4 cm dari A. Dari A ditarik garis tinggi dan memotong BC di F. Jika bilangan rasional   menyatakan perbandingan luas segi empat ADFE terhadap luas segitiga ABC dalam bentuk yang paling sederhana, maka nilai a + b adalah ….

14.Hasil kali semua akar real dari persamaan

adalah ….

15.Diberikan segitiga ABC dengan AB = 360, BC = 240, dan AC = 180. Garis bagi dalam dan garis bagi luar dari ∠CAB memotong BC dan perpanjangan BC berturut-turut di P dan Q. Jari -jari lingkaran yang melalui titik-titik A, P, dan Q adalah ….

16.Diberikan fungsi kuadrat f (x) = ax2 + bx + c yang didefinisikan pada himpunan bilangan real dengan b > 0. Jika f(x) selalu tak negatif , maka nilai terkecil yang mungkin untuk   adalah ….

17.Semua pasangan bilangan prima (p, q) yang memenuhi persamaan (7p – q)2  = 2(p – 1)q2   adalah ….

18.Diberikan segitiga ABC yang sisi -sisinya tidak sama panjang sehingga panjang garis berat AN dan BP berturut-turut 3 dan 6. Jika luas segitiga ABC adalah  , maka panjang garis berat ketiga CM adalah ….

19.Diketahui bahwa
20! + 14! = 243290a0953b4931200.
Nilai a dan b adalah ….

20.Semua bilangan bulat n4  – 51x2  + 225 sehingga n merupakan bilangan prima adalah ….

Read More

OSK matematika SMP 2003

  1. PILIHAN GANDA

 

  1. 44 +44+44+44 = …

a. 27     b. 210     c. 1034    d.  54      e. 512

 

  1. Kelipatan persekutuan terkecil dari 210, 42, dan 70 adalah …..

a. 14           b. 210       c. 420    d. 7   e. 1260

 

  1. Joko tidur malam dari pukul 9.20 dan bangun pagi pukul 4.35. ia tidur selama …

a. 4 jam 45 menit      d. 7 jam 15 menit

b. 5 jam 15 menit     e. 19 jam 15 menit

c. 5 jam 45 menit

 

  1. Gabah hasil panen sawah mempunyai kadar air 25%. Setelah dijemur kadar airnya menyusut  sebanyak 80%. Kadar air gabah tersebut saat ini adalah …

a. 2,5%   b. 5%   c. 10%   d. 15%   e. 2%

 

  1. Jika a dan b adalah bilangan bulat genap, dengan a>b, maka banyaknya bilangan bulat ganjil  diantara a dan b adalah …..
  2. a.      b. a – b    c.      d. a – b + 1    e. Tidak dapat
  3. Di dalam suatu lingkaran yang berjari-jari 4 cm dibuat persegi ABCD, sehingga titik sudut persegi tersebut berada pada lingkaran. Luas persegi ABCD adalah …..

a. 64 cm2   b. 32 cmc .16 cm2    d. 8 cm2    e. 4 cm2

 

  1. Kendaraan A berjalan dengan laju 60 km/jam. Dua jam berikutnya kendaraan B berjalan dengan laju 80 km/jam berangkat dari tempat dan menuju arah yang sama. Setelah berapa jam kendaraan B menyusul kendaraan A?

a. 2 jam      b. 3 jam     c. 4 jam     d. 5 jam    e. 6 jam

 

  1. Pada gambar disamping, ABCD adalah persegi dan ABE adalah segitiga sama sisi. Besar sudut DAE adalah …
Read More